综合与实践

【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”$.$它被记载于我国古代著名数学著作$《$周髀算经$》$中$.$为了方便，在本题中，我们把三边的比为$3∶4∶5$的三角形称为$(3,4,5)$型三角形$.$例如：三边长分别为$9$，$12$，$15$或$3 \sqrt[]{2}$，$4 \sqrt[]{2}$，$5 \sqrt[]{2}$的三角形就是$(3,4,5)$型三角形$.$用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

【实践操作】如图$①$，在矩形纸片$ABCD$中，$AD=8cm$，$AB=12cm$．

第一步：如图$②$，将图$①$中的矩形纸片$ABCD$沿过点$A$的直线折叠，使点$D$落在$AB$上的点$E$处，折痕为$AF$，再沿$EF$折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图$③$，将图$②$中的矩形纸片再次折叠，使点$D$与点$F$重合，折痕为$GH$，然后展平，隐去$AF$．

第三步：如图$④$，将图$③$中的矩形纸片沿$AH$折叠，得到$\triangle AD′H$，再沿$AD′$折叠，折痕为$AM$，$AM$与折痕$EF$交于点$N$，然后展平．

【问题解决】$(1)$请在图$②$中证明四边形$AEFD$是正方形；

$(2)$请在图$④$中判断$NF$与$ND′$的数量关系，并加以证明；

$(3)$请在图$④$中证明$\triangle AEN$是$(3,4,5)$型三角形．

【探索发现】$(4)$在不添加辅助线，不添加点的情况下，图$④$中还有哪些三角形是$(3,4,5)$型三角形？请找出并直接写出它们．