已知在直角坐标平面$xOy$中,抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$经过点$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$、$C\left(0,3\right)$三点.

$(1)$求该抛物线的表达式；
$(2)$点$D$是点$C$关于抛物线对称轴对称的点,联结$AD$、$BD$,将抛物线向下平移$m\left(m \gt 0\right)$个单位后,点$D$落在点$E$处,过$B$、$E$两点的直线与线段$AD$交于点$F$.
①如果$m=2$,求$\tan \angle DBF$的值；
②如果$\triangle BDF$与$\triangle ABD$相似,求$m$的值.