如图，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，$AC=4$，$CD$是$\triangle ABC$的中线，动点$P$从点$C$出发，沿$CA$以每秒$1$个单位的速度向终点$A$运动，同时，动点$Q$从点$A$出发，沿$AB$以每秒$2$个单位的速度向终点$B$运动，过点$Q$作$QE⊥BC$于点$E$，连接$PE$，设四边形$APEQ$与$\triangle ADC$重叠部分图形的面积为$S(S>O)$，点$P$的运动时间为$t$秒$(t>0).$
$(1)$则$DQ$的长为 ______$($用含$t$的代数式表示$)$；
$(2)$求$S$与$t$之间的函数关系式．