观察下列勾股数：

$3$，$5$，$5;5$，$12$，$13;7$，$24$，$25;9$，$40$，$41;...;a$，$b$，$c.$

根据你发现的规律，请写出：

$(1)$当$a=19$时，求$b$、$c$的值；

$(2)$判断$15$，$111$，$112$是否为一组勾股数，并说明理由．