在一次函数的学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数$y=2|x-1|-3$性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.
$(1)$如表是$x$与$y$的对应值:

$x$	$\ldots \ldots$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots \ldots$
$y$	$\ldots \ldots$	$3$	$1$	$-1$	$-3$	$-1$	$1$	$a$	$\ldots \ldots$

①$a=$______；
②若点$A\left(m,c\right)$、$B\left(n,c\right)$都在该函数图象上,则$m+n=$______；
$(2)$在给出的平面直角坐标系中,画出函数图象,并写出这个函数的两条性质:
①______；
②______；
$(3)$已知函数$y_{1}=-x+1$的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出$y_{1}\leqslant y$时$x$的取值范围______.