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如图,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,点$E$,$F$分别在$BD$和$DB$的延长线上,且$DE=BF$,连接$AE$、$AF$、$CE$、$CF$. $(1)$求证:$AE=CF$； $(2)$当$BD$平分$\angle ABC$时,四边形$AFCE$是什么特殊的四边形?请说明理由.

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如果一条直线把$\triangle ABC$分割成一个三角形和一个四边形,并且分割后得到的三角形与四边形的面积相等、周长也相等,那么我们把这条直线叫做$\triangle ABC$的"完美分割线".已知$\triangle ABC$的一条"完美分割线"分别交边$AB$、边$AC$于点$D$、点$E$,$\angle AED=\angle B$,$\triangle ADE$的周长为$4$,那么$BC$的长为______.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$BC=2$,$AB$的垂直平分线$MN$交$AB$于$E$,交$AC$于点$D$,将线段$DC$绕点$D$顺时针旋转$\alpha \left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 180^{\circ}\right)$,点$C$的对应点为点$F$,连接$BF$,$BD$.当$\t

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如图,正方形$ABCD$的边长为$10$,$E$为$AD$的中点,连接$CE$,过点$B$作$BF\bot CE$交$CD$于点$F$,垂足为$G$,连接$AG$、$DG$,下列结论:①$BF=CE$；②$AG=CD$；③$\angle CDG=\angle AGE$；④$EG=2\sqrt{5}$；⑤$DG=\sqrt{2}CG$.其中正确结论有（ ）

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如图,在$\odot O$中,$AB$是直径,$AC$是弦,$D$是$\widehat {AC}$的中点,$DG\bot AB$于点$G$,交$AC$于点$E$,$BD$交$AC$于点$F$,下列结论一定正确的是______$.(把所有正确结论的序号都填上)$ ①$\angle DAE=\angle GAE$,②$AE=DE$,③$AC=2DG$,④若$\tan \angle BAC=\frac{3}{4}$,则$\frac{BF}{C

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若$A(-1$,$y_{1})$,$B(1$,$y_{2})$,$C(4$,$y_{3})$三点都在二次函数$y=-\left(x-2\right)^{2}+k$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为（ ）

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如图,已知抛物线$y=-x^{2}+2x+3$与$x$轴交于点$A$和点$B$,与$y$轴交于点$C$. $(1)$求点$A$,$B$,$C$的坐标； $(2)$根据图象直接回答:当$x$取何值时,$y \lt 0$； $(3)$连接$AC$、$BC$,若点$P$在抛物线上,且$S_{\triangle ABP}=2S_{\triangle ABC}$,求点$P$的坐标.

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已知点$A(-2$,$y_{1})$,$B(2$,$y_{2})$,$C(3$,$y_{3})$在二次函数$y=ax^{2}-2ax+3a$的图象上,二次函数图象与$y$轴的交点在负半轴,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为（ ）

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如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC=10cm$,$BC=16cm$.点$D$由点$A$出发沿$AB$方向向点$B$匀速运动,同时点$E$由点$B$出发沿$BC$方向向点$C$匀速运动,它们的速度均为$1cm/s$.连接$DE$,设运动时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 10\right)$,解答下列问题: $(1)$当$t$为何值时,$\triangle BDE$的面积为$7

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已知$x=-2$是关于$x$的方程$3x+a=0$的解,则$a$的值是（ ）

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如图,在三角形纸片$ABC$中,$AB=9$,$AC=6$,$BC=12$,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与$\triangle ABC$相似的是（ ）

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如图,$AB\bot BD$,$CD\bot BD$,$AB=6$,$CD=4$,$BD=14$.点$P$在$BD$上移动,当以$P$,$C$,$D$为顶点的三角形与$\triangle ABP$相似时,则$PB$的长为______.

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如图,矩形$ABCD$中,$AB=8$,$BC=6$,$\odot O$与边$AD$、对角线$AC$均相切,过点$B$作$\odot O$的切线,切点为$P$,则切线长$BP$的最小值为______.

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$\triangle ABC$是边长为$5$的等边三角形,$\triangle DCE$是边长为$2.5$的等边三角形,直线$BD$与直线$AE$交于点$F$.如图,若点$D$在$\triangle ABC$内,$\angle DBC=20^{\circ}$,则$\angle BAF= \_\_\_\_\_\_^{\circ}$；现将$\triangle DCE$绕点$C$旋转$1$周,在这个旋转过程中,线段$AF$长度的最小值是___

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在一次数学探究活动中,王老师设计了一份活动单: 已知线段$BC=4$,使用作图工具作$\angle BAC=45^{\circ}$,尝试操作后思考: $(1)$这样的点$A$唯一吗? $(2)$点$A$的位置有什么特征?你又什么感悟? "追梦"学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点$A$的位置不唯一,它在以$BC$为弦的圆弧上（点$B$、$C$除外$),\ldots $小华画出了符合要求的一条圆弧（如图$1)$. $(1)$小华同学提出

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$、$E$为边$AB$、$AC$的中点,已知$\triangle ADE$的面积为$3$,那么$\triangle ABC$的面积是（ ）

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已知,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=2x+4$与$x$轴、$y$轴相交于$A$、$B$两点,且点$C$的坐标为$\left(6,4\right)$,连接$AC$,与$y$轴相交于点$D$,点$E$在$x$轴上,如果$\triangle ABD$和$\triangle ACE$相似,则点$E$的坐标为______.

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如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为 AE 的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8． （1）求点C的坐标； （2）连接MG、BC，求证：MG∥BC； （3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时， 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．

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若两个相似三角形的面积比是$1:9$,则它们对应边的中线之比为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中$,DE$ ∥ $BC$,$DE:BC=1:3$,且$\triangle ADE$的面积是$4$,则$\triangle ABC$的面积等于______.

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