先看题，再决定怎么练

【问题背景】利用方程解决实际问题是重要的思想方法.以面积寻找等量关系,求图形中线段的长度是解决一些几何问题的常见手段. 例如:如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD\bot AB$于点$D$,若$BC=3$,$AC=4$,$AB=5$,求斜边$AB$上的高$CD$的长. 利用$Rt\triangle ABC$的面积列出方程$\frac{1}{2}×5×CD=\frac{

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如图,已知点$F$在$BC$上,且$\triangle ABC$ ≌ $\triangle AEF,$有同学在推出$AB=AE$,$\angle B=\angle E$后,还分别推出下列结论,其中错误的是（ ）

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如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC=3cm$,$\angle B=30^{\circ}$,点$D$在$BC$边上由$C$向$B$匀速运动$(D$不与$B$、$C$重合),匀速运动速度为$1cm/s$,连接$AD$,作$\angle ADE=30^{\circ}$,$DE$交线段$AC$于点$E$. $(1)$在此运动过程中,$\angle BDA$逐渐变______(填"大"或"小"$);D$点运动到图$1$位置

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如图$1$,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$\angle ABC=90^{\circ}$,点$D$为$\triangle ABC$外一点,连接$AD$,过点$A$作$AE\bot AD$,交$BC$于点$E$,过点$D$作$DH\bot AB$,垂足为$H$,$HD=BC$. $(1)$求证:$AE=AD$； $(2)$如图$2$,延长$AB$到点$G$,连接$GD$,使得$\angle HGD=\angle ADH$

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在等边$\triangle ABC$中,点$D$是边$AC$上的一定点,点$E$是直线$BC$上的一动点,以$DE$为边在$DE$右侧作等边$\triangle DEF$,连接$CF$. $(1)$如图①,若点$E$在线段$BC$上,且$DE\bot BC$,垂足为$E$. ①求证:$CD=2CE$； ②求证:$CE+CF=CD$； $(2)$如图②,若点$E$在线段$CB$上,在$BC$上截取$CG$,使$CG=CD$,连接$DG$,

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如图,一只蚂蚁从长、宽都是$3$,高是$8$的长方体纸箱的$A$点沿纸箱爬到$B$点,那么它所爬行的最短路线长是（ ）

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如图,已知$\triangle ABC$是等腰三角形,$AB=AC$,$\angle BAC=100^{\circ}$,点$D$是边$BC$上的一个动点（不与点$B$、$C$重合$),\angle DAC$与$\angle ACB$的平分线交于点$O$,则$\angle AOC$的大小不可能是（ ）

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如图所示,一圆柱高$8cm$,底面半径为$2cm$,在圆柱下底面的点$A$有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点$A$相对的点$B$处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是$(\pi $取$3)\left(\ \ \right)$ ​

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已知:如图,线段$AB$的端点$A$在直线$l$上,$AB$与$l$的夹角为$30^{\circ}$,点$C$在直线$l$上,若$\triangle ABC$是等腰三角形.则这个等腰三角形顶角的度数是______.

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如图,点$E$在正方形$ABCD$内,满足$\angle AEB=90^{\circ}$,$AE=5$,$BE=12$,则阴影部分的面积是（ ）

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嘉嘉学习了等腰三角形,知道"等边对等角",他想:那么边不相等时,它们所对的角有什么样的关系呢?于是他做了如下探索: 他剪了一个如图$1$所示的$\triangle ABC$,其中$AB \gt AC$,然后把纸片折叠,使得$AB$与$AC$重合,且点$B$落在$AC$延长线上的$B_{1}$处,然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系. $(1)$请你完成证明过程: 证明:由轴对称的性质可以得到$\triangle ABD$

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如图,已知$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$中点,两边$PE$,$PF$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$,当$\angle EPF$在$\triangle ABC$内绕顶点$P$旋转时（点$E$不与$A$,$B$重合),以下五个结论正确的个数是（ ） ①$AE=CF$； ②$\angle APE=\angle CP

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$(1)$如图$1$,在四边形$ADBC$中,$AB$与$CD$相交于点$O$,$AB=CD$,$E$,$F$分别是$BC$,$AD$的中点,连接$EF$,分别交$DC$,$AB$于点$M$,$N$,判断$\triangle OMN$的形状,并说明理由； $(2)$如图$2$,在四边形$ABCD$中,$AB=CD$,$E$,$F$分别是$AD$,$BC$的中点,连接$FE$并延长,分别与$BA$,$CD$的延长线交于点$M$,$N$.求

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如图,长方形$ABCD$中,$AD=18cm$,$AB=6cm$,将此长方形折叠,使点$B$与点$D$重合,折痕为$EF$,求$\triangle ABE$的面积.

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$O$为等边三角形$ABD$的边$BD$的中点,$AB=5$,$E$、$F$分别为射线$AB$、$DA$上一动点,且$\angle EOF=120^{\circ}$,若$AF=2$,则$BE$的长为______.

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用反证法证明命题"一个三角形中至多有一个角是直角",应先假设这个三角形中（ ）

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如果一个三角形中最小的一个内角为$46^{\circ}$,那么这个三角形一定为（ ）

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如图,长方体的底面边长分别为$2cm$和$4cm$,高为$5cm$.若一只蚂蚁从$P$点开始经过$4$个侧面爬行一圈到达$Q$点,则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）

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如图,$\triangle CAB$,$\triangle CDE$均为等腰直角三角形,$AC=BC=2\sqrt{5}$,$DC=EC$,点$A$,$E$,$D$在同一直线,$AD$与$BC$相交于点$F$,$G$为$AB$的中点,连接$BD$,$EG$.完成以下问题: $(1)\angle BDA$的度数为______； $(2)$若$F$为$BC$的中点,则$EG$的长为______.

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如图$,AB$ ∥ $CD$,$AD$与$BC$相交于点$O$.若$OB:OC=2:3$,$AD=10$,则$AO$的长为____.

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