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圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素的韵味.如图是一款拱门的示意图,其中拱门最下端$AB=18$分米,$C$为$AB$中点,$D$为拱门最高点,圆心$O$在线段$CD$上,$CD=27$分米,求拱门所在圆的直径.

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在练习掷铅球项目时,某同学掷出的铅球直径为$10cm$,在操场地上砸出一个深$2cm$的小坑,则该坑的直径$AB$为______$cm.$

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如图,将正方形$OABC$放在平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,点$C\left(a,b\right)$,则点$A$的坐标为（ ）

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如图,点$A$,$B$,$C$,$D$在同一直线上,点$E$,$F$分别在直线$AD$的两侧,且$AE=DF$,$\angle A=\angle D$,$AB=CD$. $(1)$求证:四边形$BFCE$是平行四边形； $(2)$若$AD=7cm$,$DC=2cm$,$\angle EBD=60^{\circ}$,$BE=3cm$,求证:四边形$BFCE$是菱形.

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如图$1$和图$2$,平面上,四边形$ABCD$中,$AB=8$,$BC=2\sqrt{11}$,$CD=12$,$DA=6.\angle A=90^{\circ}$,点$M$在$AD$边上,且$DM=2$.将线段$MA$绕点$M$顺时针旋转$n^{\circ}\left(0 \lt n\leqslant 180\right)$到$MA\’$,$\angle {A\’}MA$的平分线$MP$所在直线交折线$AB-BC$于点$P$,设点$

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已知点$P\left(m-3,m-1\right)$在第二象限,则$m$的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

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如图,$PA$、$PB$是$\odot O$的两条切线,$A$、$B$是切点,若$\angle APB=60^{\circ}$,$PO=2$,则$\odot O$的半径等于______.

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如图$PA$、$PB$是$\odot O$的切线,切点分别为$A$、$B$,点$C$在$\widehat {AB}$上,过$C$作$\odot O$的切线分别交$PA$、$PB$于点$D$、$E$,连接$OD$、$OE$,若$\angle P=50^{\circ}$,则$\angle DOE$的度数为（ ）

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如图,$PA$,$PB$是$\odot O$的两条切线,切点分别为$A$,$B$,连接$OA$,$AB$,若$\angle OAB=35^{\circ}$,则$\angle P=$____$^{\circ}$.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,且$C$为$\widehat {BE}$的中点,连接$AE$并延长交$BC$的延长线于点$D$. $(1)$请用尺规作图法,过点$C$作$CF\bot AD$,垂足为$F.(保留作图痕迹,不写作法)$ $(2)$求证:$CF$是$\odot O$的切线.

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如图,▱$ABCD$中,$\angle DAC=\angle ADB$,求证:四边形$ABCD$是矩形.

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如图,四边形$ABHK$是边长为$12$的正方形,点$C$、$D$在边$AB$上,且$AC=DB=2$,点$P$是线段$CD$上的动点,分别以$AP$、$PB$为边在线段$AB$的同侧作正方形$AMNP$和正方形$BRQP$,$E$、$F$分别为$MN$、$QR$的中点,连接$EF$,设$EF$的中点为$G$,则当点$P$从点$C$运动到点$D$时,点$G$移动的路径长等于______.

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若数$a$使关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x-5}{2}+1≤\frac{x+1}{3}\\ 5x-2a＞2x+a\end{array}\right.$至少有$5$个整数解,关于$y$的分式方程$\frac{a-3}{y-1}-\frac{2}{1-y}=2$有非负整数解,则满足条件的所有整数$a$之和是______.

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一次函数$y=ax+b$和反比例函数$y=\frac{c}{x}$在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象可能是（ ）

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已知抛物线$y=-x^{2}+2x+2$. $(1)$该抛物线的对称轴是______,顶点坐标是______； $(2)$画出该抛物线的图象； $x$ $\cdots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\cdots $ $y$ $\cdots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\cdots $ $(3)$若该抛物线上两点$A(x_{1}$,$y_{1})

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已知二次函数$y=x^{2}+bx-c$的图象与$x$轴两交点的坐标分别为$\left(m,0\right)$,$\left(-3m,0\right)\left(m\neq 0\right)$. （1）证明$4c=3b^{2}$； （2）若该函数图象的对称轴为直线$x=1$,试求二次函数的最小值.

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$9$张背面相同的卡片,正面分别写有不同的从$1$到$9$的一个自然数,现将卡片背面朝上,从中任意抽出一张,正面的数是奇数的概率为（ ）

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解方程: $(1)5x^{2}-4x-1=0(公式法)$； $(2)x^{2}-4x+1=0(配方法)$.

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设ABCD为圆内接四边形，对角线AC平分BD于E． 求证：AB 2 +BC 2 +CD 2 +DA 2 =2AC 2 ．

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已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，外接圆的半径为R，证明： = = =2R．

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