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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的自变量$x$和函数值$y$的部分对应值如表所示: $x$ $\ldots $ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $5$ $0$ $-3$ $-4$ $-3$ $\ldots $ 则当$y \lt 0$时,$x$的取值范围是______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是角平分线,$\angle ADE=\angle B$,若$AE=4$,$AB=5$,则$AD= \_\_\_\_\_\_.$

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下列图象中,函数$y=ax^{2}-a\left(a\neq 0\right)$的图象可能是（ ）

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如图,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,以$O$为原点构造边长为$4$的正六边形$ABCDEF$,其中$B$、$E$两点落在$x$轴上.点$P$在$ABCDEF$的边上运动,连接$OP$,以$OP$为边构造等腰$Rt\triangle OPQ$,其中$\angle POQ=90^{\circ}$,$OP=OQ$,设点$Q$的运动路径为$\Omega $,则$\Omega $的长度为______.

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抛物线$y=-3x^{2}$的开口______$.(填"向上"或"向下")$

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二次函数$y=a\left(x-2\right)^{2}+c$与一次函数$y=cx+a$在同一坐标系中的大致图象是（ ）

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一次函数$y=ax+b$与二次函数$y=ax^{2}+bx+c$在同一坐标系中的图象可能是（ ）

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问题 :如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$边上一点（不与点$B$,$C$重合),将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$AE$,连接$EC$,则线段$BC$,$DC$,$EC$之间满足的等量关系式为______； 探索 :如图②,在$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,将$\triangle ADE$

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如图,在正方形$ABCD$中,点$E$、$F$、$G$分别在$AB$、$AD$、$CD$上,$AB=3$,$AE=1$,$DG \gt AE$,$BF=EG$,$BF$与$EG$交于点$P$,连接$DP$,则$DP$的最小值为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$BC=2AB=4$,$E$是边$BC$上一点（不与端点重合),过点$E$作$AC$的垂线,垂足为$D$,交$AB$的延长线于点$F$,则$\sin F$的值为（ ）

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如图是抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的部分图象,其顶点坐标为$\left(1,n\right)$,且与$x$轴的一个交点在点$\left(3,0\right)$和$\left(4,0\right)$之间,则下列结论: ①$b=2a$； ②$c-a=n$； ③$b^{2}=4a\left(c-n\right)$； ④当$x \lt 0$时,$ax^{2}+\left(b+2\right)x \

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二次函数$y=ax^{2}+bx+c$,自变量$x$与函数$y$的对应值如下表: $x$ $\ldots $ $-5$ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $4$ $0$ $-2$ $-2$ $0$ $4$ $\ldots $ 下列说法正确的是（ ）

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如图,已知抛物线的顶点为$A\left(1,4\right)$,抛物线与$y$轴交于点$B\left(0,3\right)$,与$x$轴交于$C$、$D$两点.点$P$是对称轴上的一个动点. $(1)$求此抛物线的解析式； $(2)$当$PC+PB$的值最小时,求点$P$的坐标.

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已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象经过$A\left(-1,0\right)$,$B\left(1,-2\right)$两点. $(1)$求二次函数解析式. $(2)$判断点$\left(3,4\right)$是否在这个二次函数图象上,并说明理由.

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如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE:BE=2:1$,$F$是$AD$的中点,射线$EF$与$AC$交于点$G$,与$CD$的延长线交于点$P$,则$\frac{{AG}}{{GC}}$的值为____.

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$为$AB$上一点,$\angle ADC=\angle ACB$,则下列不能表示$\triangle ACD$和$\triangle ABC$相似比的是（ ）

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如图,已知$AB=AE$,$AC=AD$,下列条件中不能判定$\triangle ABC$ ≌ $\triangle AED$的是（ ）

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如图,点$E$是$\triangle ABC$的边$AB$上一点,要使得$\triangle ACE$与$\triangle ABC$相似,添加一个条件,不正确的是（ ）​

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已知点$A$是抛物线$y=x^{2}-8x+13$图象的顶点,若点$A$和点$B$关于原点成中心对称,则点$B$的坐标是______.

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已知二次函数图象的顶点坐标是$\left(2,-1\right)$,且与抛物线$y=2x^{2}$的形状和开口方向均相同,则这个二次函数的解析式是______.

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