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满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数,称为勾股数.若正整数$a$,$n$满足$a^{2}+n^{2}=\left(n+1\right)^{2}$,这样的三个整数$a$,$n$,$mn+1($如:$3$,$4$,$5$或$5,12,13)$我们称它们为一组"完美勾股数",当$n \lt 41$时,共有______组这样的"完美勾股数"；当$n \lt 1013$时,共有______组这样的"完美勾股数".

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解下列方程: $(1)4\left(x-1\right)^{2}=9$； $(2)\frac{1}{125}(x-3)^{3}=-1$.

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如图所示,在$\triangle ABC$中,$D$是边$AB$上一点,$E$是边$AC$的中点,作$CF$ ∥ $AB$交$DE$的延长线于点$F$. （1）证明:$\triangle ADE$ ≌ $\triangle CFE$； （2）若$AB=AC$,$DB=2$,$CE=5$,求$CF$.

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如图所示,在四边形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC$,$E$为$CD$的中点,连接$AE$、$BE$,延长$AE$交$BC$的延长线于点$F$. $(1)$求证:$FC=AD$； $(2)$若$AB=BC+AD$,判断$BE$与$AF$的位置关系,并说明理由.

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如图所示,$AE\bot AB$,且$AE=AB$,$BC\bot CD$且$BC=CD$,若点$E$、$B$、$D$到直线$AC$的距离分别为$6$,$3$,$2$,则图中实线所围成的阴影部分面积$S$是（ ）

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【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即"$SAS$"、"$ASA$"、"$AAS$"、"$SSS$"）和直角三角形全等的判定方法（即"$HL$"）后,我们继续对"两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究. 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为:在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$\angle B=\angle E$,然后,对$\angle

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如图:$\triangle ABC$是边长为$6$的等边三角形,$P$是$AC$边上一动点,由点$A$向点$C$运动$(P$与点$A$、$C$不重合),点$Q$同时以点$P$相同的速度,由点$B$向$CB$延长线方向运动（点$Q$不与点$B$重合）,过点$P$作$PE\bot AB$于点$E$,连接$PQ$交$AB$于点$D$. $(1)$若设$AP$的长为$x$,则$PC= $______,$QC= $______； $(2)$当$\

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如图,是尺规作图中"画一个角等于已知角"的示意图,该作法运用了"全等三角形的对应角相等"这一性质,则判定图中两三角形全等的条件是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=90^{\circ}$,$AB=AC$,$BD$平分$\angle ABC$,交$AC$于点$D$,过$C$作$BD$的垂线交$BD$的延长线于点$E$.若$BD=5$,则$CE=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,$E$为$\triangle ABC$内部一点,使得$\angle EBC=30^{\circ}$,$\angle EBA=8^{\circ}$,$\angle EAB=\angle EAC=22^{\circ}$,则$\angle AEC=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=40^{\circ}$,$\angle ABC=70^{\circ}$,$BD$平分$\angle ABC$,则$\angle BDC$的度数是____度.

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如图,点$E$是$BC$的中点,$AB\bot BC$,$DC\bot BC$,$AE$平分$\angle BAD$,则下列结论中,正确的是______$(填序号)$. ①$\angle AED=90^{\circ}$；②$\angle ADE=\angle CDE$；③$DE=BE$；④$AD=AB+CD$.

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如图,点$E$,$F$分别在$AB$,$CD$上,$AF\bot CE$,垂足为$O$,$\angle BFD=\angle C$.若$AF=4$,$BF=3$,则点$F$到直线$AB$的距离为______.

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如图,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$BD\bot AC$于$D$,$CE\bot AB$于$E$,$BD$和$CE$交于点$O$,连接$AO$,则图中有______对全等的直角三角形.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$,$\angle CBE=45^{\circ}.BE$分别交$AC$、$AD$于$E$、$F$. $(1)$如图$1$,$AB=13$,$BC=10$,求$AF$的长度； $(2)$如图$2$,取$BF$中点$G$,若$BF^{2}+EF^{2}=CG^{2}$,求证:$AF=BC$； $(3)$如图$3$,在（2）的条件下,过点$D$作$DN\b

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如图,在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中,已知$AC=AD$,$BC=BD$,则能说明$\triangle ABC$ ≌ $\triangle ABD$的依据是（ ）

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如图,点$O$在$AD$上,$\angle A=\angle C$,$\angle AOC=\angle BOD$,$AB=CD$,$AD=6cm$,$OC=4cm$,则$OB$的长为（ ）

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如图,$\angle C=\angle D=90^{\circ}$,$AC=AD$,那么$\triangle ABC$与$\triangle ABD$全等的理由是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=1$,$AC=6$,点$D$是$BC$的中点,连接$AD$,那么线段$AD$的长度有可能是（ ）

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如图$,\triangle ABC$ ≌ $\triangle DBE$,请写出图中的对应角,对应边. ①$\angle B$的对应角______； ②$\angle C$的对应角______； ③$\angle BAC$的对应角______； ④$AB$的对应边______； ⑤$AC$的对应边______； ⑥$BC$的对应边______.

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