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三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法,以$x^{2}-2x-3=0$为例,大致过程如下: 第一步:将原方程变形为$x^{2}-2x=3$.即$x\left(x-2\right)=3$. 第二步:构造一个长为$x$,宽为$\left(x-2\right)$的长方形,长比宽大$2$,且面积为$3$,如图①所示. 第三步:用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,如图②所示.

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解方程:$2x^{2}+3=7x$.

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如图，\(C\)是\(⊙O\)上一点，点\(P\)在直径\(AB\)的延长线上，\(⊙O\)的半径为\(6\)，\(PB=4\)，\(PC=8.\) \((1)\)求证：\(PC\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)求\(\sin∠CAB\)的值．

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如图，在\(\triangle ABC\)中，以\(AC\)为直径的\(⊙O\)交\(BC\)边于点\(D\)，在\(BC\)边上取一点\(E\)，使得\(CA=CE\)，连结\(AE\)，交\(⊙O\)于点\(F\)，且\(∠BAE=\dfrac{1}{2}∠ACE.\) \((1)\)求证：\(BA\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(⊙O\)的直径为\(4\)，\(BE=2CD\)，求\(\overparen{CD}\)

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如图,已知$AB\bot BC$,$EC\bot BC$,垂足分别为$B$、$C$,$AE$交$BC$于点$D$,$AB=12$,$BD=15$,$DC=5$,求$EC$的长.

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阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容.请认真阅读并解答下列问题. 过圆外一点作圆的切线的尺规作图. 已知,$\odot O$及圆外一点$P$. 求作:过点$P$作$\odot O$的一条切线. 作法:①连接$OP$； ②作$OP$的______,交$OP$于点$A$； ③以点$A$为圆心,$OA$的长为半径作$\odot A$,交$\odot O$于点$B$； ④作直线$PB$. 直线$PB$即为所求作的一条切线. $(1

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如图,正方形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$交于点$O$,点$E$,$F$分别是$OC$,$OD$上的两点,且$BE=CF$,过点$F$作$FG\bot FC$交$AB$于点$G$,若$\angle EBC=\alpha $,则$\angle AFG$用含$\alpha $的式子表示为（ ）

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如图,在$\odot O$中,弦$MN$的长为$2\sqrt{3}$,点$A$在$\odot O$上,$MN\bot OA$,$\angle ANM=30^{\circ}$.若$\odot O$所在的平面内有一点$P$,且$OP=2$,则点$P$与$\odot O$的位置关系是（ ）

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如图,点$A$在$x$轴的负半轴上,点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,连接$AC$交$y$轴于点$B$,若$AB=2BC$,$\triangle AOB$的面积为$8$,则$k$的值为______.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$,$D$,$E$在$\odot O$上,若$\angle AED=18^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为（ ）

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已知 是关于x，y的二元一次方程组 的一组解，则a+b=（ ）

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是$\odot O$的弦,若$\angle AOC=50^{\circ}$,则$\angle BDC$的度数为（ ）

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如图,若$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是$\odot O$的弦,$\angle ABD=55^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为（ ）

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如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为$4$,圆心到弦$AB$的距离为$2$,则$\angle AOC$的度数为______.

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解分式方程: $(1)\frac{1}{x-2}+2=\frac{1-x}{2-x}$； $(2)\frac{3}{2x-4}-\frac{x}{x-2}=\frac{1}{2}$.

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定义新运算:$a⊗b=\left\{\begin{array}{c}{a}^{2}-b,a≤0\\-a+b,a＞0\end{array}\right.$,例如:$-2\otimes 4=\left(-2\right)^{2}-4=0$,$2\otimes 3=-2+3=1$.若$x⊗1=-\frac{3}{4}$,则$x$的值为______.

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若（a 2 +b 2 ）（a 2 +b 2 -2）=3，则a 2 +b 2 = ．

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若（x+y）（x+4+y）-21=0，则x+y= ．

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为解方程x 4 -5x 2 +4=0，我们可以将x 2 视为一个整体，然后设x 2 =y，则x 4 =y 2 ， 原方程化为y 2 -5y+4=0．① 解得y 1 =1，y 2 =4 当y=1时，x 2 =1．∴x=±1 当y=4时，x 2 =4，∴x=±2． ∴原方程的解为x 1 =1，x 2 =-1，x 3 =2，x 4 =-2 解答问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想． （

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解方程：（x-1） 2 -5（x-1）+6=0．

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