先看题，再决定怎么练

如图$1$所示,已知$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,直线$m$经过点$C$,过$A$、$B$两点分别作直线$m$的垂线,垂足分别为$E$、$F$. $(1)$如图$1$,当直线$m$在$A$、$B$两点同侧时,求证:$EF=AE+BF$； $(2)$若直线$m$绕点$C$旋转到图$2$所示的位置时$\left(BF \lt AE\right)$,其余条件不变,猜想$EF$

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如图,$BE$交$AC$于点$M$,交$CF$于点$D$,$AB$交$CF$于点$N$,$\angle E=\angle F=90^{\circ}$,$\angle B=\angle C$,$AE=AF$,给出的下列四个结论中正确结论的序号为______. ①$\angle 1=\angle 2$；②$BE=CF$；③$CD=DN$；④$\triangle CAN$ ≌ $\triangle BAM.$

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$在边$AB$上,连接$CD$,$CE$,满足$CD\bot AB$,$AE=CE$,若$AD=6$,$BC=5$,$BD=3$,则$\triangle BCE$的面积为______.

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在$\triangle ABC$中,如果$\angle A+\angle B=90^{\circ}$,那么$\triangle ABC$是（ ）

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如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AD=CD$. $(1)$求证:点$D$是$BC$的中点； $(2)$在图$2$中,点$E$、$F$分别为线段$CD$和$AD$上的点,$DE=DF$,连接$EF$并延长交$AB$于点$H$,点$L$、$M$分别在线段$BH$、$BD$上,连接$ML$,当$\angle BLM=\angle DFE$时,试判断$LM$与$BC$的位置关

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如图,小明书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）

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中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用"倍长中线法"添加辅助线. $(1)$如图①,$\triangle ABC$中,若$AB=4$,$AC=6$,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围； 同学们经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长$AD$至点$E$,使$DE=DA$,连接$BE$. 请你根据同学们的方法解答下面的问题: ①根据题意,补全图形； ②由已知和作图能得到$\triangle ADC$ ≌ $\t

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如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的$2$倍,那么斜边扩大到原来的（ ）

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定义:我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的"中偏度值".在$\triangle ABC$中,$AC=13$,$AB=15$,$BC$边上的高$AD=12$,$\triangle ABC$中$BC$边的"中偏度值"为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=BC$,$\angle ABC=120^{\circ}$,$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$.若$AC=9$,则$AD$的长为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AB$的垂直平分线交$AB$于$N$,交$AC$于$M$,$P$是直线$MN$上一动点,$H$为$BC$的中点,若$BC=5$,$\triangle ABC$的面积是$30$,则$BP+PH$的最小值为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC \gt 90^{\circ}$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$E$,$F$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$M$,$N$,直线$EF$,$MN$交于点$P$. $(1)$求证:点$P$在线段$BC$的垂直平分线上； $(2)$已知$\angle FAN=56^{\circ}$,求$\angle FPN$的度数.

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如图,透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为$12cm$,底面周长为$10cm$,在容器内壁离容器底部$3cm$的点$B$处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿$3cm$的点$A$处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是____$cm$.

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我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点. ●特例感知 ①等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写"是"或者"不是"）； ②如图$1$,已知$\triangle ABC$为勾股高三角形,其中$C$为勾股顶点,$CD$是$AB$边上的高.若$BD=2AD=2$,试求线段$CD$的长度. ●深入探究 如图$2$,已知$\triangle ABC$为勾股高

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已知一个三角形三边的长为$6$,$a$,$2$,则$a$的值可能为（ ）

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如图所示,第$1$个图中有$1$个三角形,第$2$个图中共有$5$个三角形,第$3$个图中共有$9$个三角形,依此类推,则第$6$个图中共有三角形____个.

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如图,图中三角形的个数为（ ）

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如图,$BE$、$CF$是$\triangle ABC$的两条高,$P$是$BC$边的中点,连接$PE$、$PF$、$EF$. $(1)$求证:$PE=PF$； $(2)$若$\angle A=70^{\circ}$,求$\angle EPF$的度数.

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已知等腰三角形的两条边分别为$3$,$7$,则它的周长为______.

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我国古代有这样一道数学问题:"枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?"题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为$20$尺,底面周长为$3$尺,有葛藤自点$A$处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点$B$处,则问题中葛藤的最短长度是______尺.

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