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解关于\(x\)的方程：\(ax-x=2(x+1).\)

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解关于\(x\)的方程：\(b(x-3)=4.\)

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如图,▱$ABCD$的顶点$C$在等边$\triangle BEF$的边$BF$上,点$E$在$AB$的延长线上,$G$为$DE$的中点,连接$CG$.若$AD=5$,$AB=CF=3$,则$CG$的长为______.

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如图,已知四边形$ABCD$是正方形,$G$为线段$AD$上任意一点,$CE\bot BG$于点$E$,$DF\bot CE$于点$F$.求证:$DF=BE+EF$.

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已知:如图,在▱$ABCD$中,$E$、$F$是对角线$AC$上的两点,且$AE=CF$.求证:$DE=BF$.

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如图为某工厂批量生产的一零件的简化结构示意图,在三角形零件的内部,$AB$边上的垂直平分线$DE$与$AB$、$AC$分别交于点$D$、$E$,根据安全标准该零件需满足$AC\bot BC$,现已知$ CB^{2}=AE^{2}-CE^{2}$. $(1)$该零件是否符合安全标准,请说明理由； $(2)$若测量出$AC=4cm$,$BC=3cm$,请求$CE$的长度.

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如图所示,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,过点$D$作$DE$ ∥ $AC$,且$DE=\frac{1}{2}AC$,连接$CE$. $(1)$求证:四边形$OCED$是矩形； $(2)$连接$BE$,交$AC$于点$F$,连接$DF$,若$AC=20$,$BD=24$,求$DF$的长.

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如图,点$C$、$E$分别在直线$AB$、$DF$上,小华想知道$\angle ACE$和$\angle DEC$是否互补,但是他没有带量角器,只带了一副三角板,于是他想了这样一个办法:首先连接$CF$,再找出$CF$的中点$O$,然后连接$EO$并延长$EO$和直线$AB$相交于点$B$,经过测量,他发现$EO=BO$,因此他得出结论:$\angle ACE$和$\angle DEC$互补,而且他还发现$BC=EF$.小华的想法对吗?

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如图,$C$为线段$AB$上一动点（不与点$A$、$B$重合),在$AB$同侧分别作正三角形$ACD$和正三角形$BCE$,$AE$与$BD$交于点$F$,$AE$与$CD$交于点$G$,$BD$与$CE$交于点$H$,连接$GH$.以下五个结论:①$AE=BD$；②$GH$ ∥ $AB;$③$AD=DH$；④$GE=HB$；⑤$\angle AFD=60^{\circ}$,一定成立的是（ ）

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如图,在正方形$ABCD$中,点$E$在$BC$上,点$F$在$CD$上,连接$AE$、$AF$、$EF$,$\angle EAF=45^{\circ}$,$BE=6$,$CF=8$,则正方形的边长为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=2\angle B$,$\angle BAC$的平分线$AO$交$BC$于点$D$,点$H$为$AO$上一动点,(不与点$A$重合）过点$H$作直线$l\bot AO$于$H$,分别交直线$AB$、$AC$、$BC$于点$N$、$E$、$M$. ①如图$1$,判断$AN$与$AE$的数量关系并证明；​ ②当直线$l$经过点$C$时（如图$2)$,求证:$BN=CD$； ③

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我们把两组邻边分别相等的四边形叫做"筝形".如图,四边形$ABCD$是一个筝形,其中$AB=CB$,$AD=CD$,求证:筝形$ABCD$的一条对角线$BD$平分一组对角.

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已知:如图,$AE=CF$,$DE\bot AC$,$BF\bot AC$,垂足分别为$E$,$F$,$DE=BF$.求证:$AB$ ∥ $CD.$

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已知:如图,在$\triangle ABC$中,点$D$是$BC$中点,$AD$平分$\angle BAC$.求证:$AD\bot BC$. 下面是这道题的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明过程. 方法一证明:如图,过点$D$作$DE\bot AB$于点$E$,$DF\bot AC$于点$F$. 方法二证明:如图,延长$AD$至点$E$,使得$DE=AD$,连接$BE$.

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如图,已知$AE=BE$,$DE$是$AB$的垂线,$F$为$DE$上一点,$BF=10cm$,$CF=3cm$,则$AC=\_\_\_\_\_\_cm.$

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如图,$AB=AC=2\sqrt{2}$,$\angle BAC=90^{\circ}$,在线段$BC$上有一动点$D$,连接$AD$,过点$A$作$AD\bot AE$且$AD=AE$,连接$DE$.当$BD=1$时,$DE$的长为______.

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如图,$AB=12m$,$CA\bot AB$于$A$,$DB\bot AB$于$B$,且$AC=4m$,$P$点从$B$向$A$运动,每分钟走$1m$,$Q$点从$B$向$D$运动,每分钟走$2m$,$P$、$Q$两点同时出发,运动______分钟后,$\triangle CAP$与$\triangle PQB$全等.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$D$,$E$是$AC$上两点,且$AE=DE$,$BD$平分$\angle CBE$,那么下列说法中不正确的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$DE\bot AB$于点$E$,$DF\bot BC$于点$F$,且$DE=DF$,$CD$平分$\angle ACB$,$\angle BDC=135^{\circ}$. $(1)$求$\angle DBF+\angle DCF$的度数； $(2)$求$\angle A$的度数.

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如图,点$B$,$D$,$C$,$F$在一条直线上,$AB=EF$,$AC=ED$,$\angle CAB=\angle DEF$,求证:$AC$ ∥ $DE.$

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