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请写出一个开口向下,并且与$y$轴交于点$\left(0,1\right)$的抛物线的表达式______.

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【课本再现】 $(1)$如图$1$,正方形$ABCD$的对角线相交于点$O$,点$O$又是正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$的一个顶点,而且这两个正方形的边长都为$1$,四边形$OEBF$为两个正方形重叠部分,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$可绕点$O$转动.则下列结论正确的是______$(填序号即可)$. ①$\triangle AEO$ ≌ $\triangle BFO$； ②$OE=OF$； ③四边形$OEBF

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如图,$\triangle ABC$是一张锐角三角形的硬纸片,$AD$是边$BC$上的高,$BC=4$,$AD=3$,从这张硬纸片剪下一个矩形$EFGH$,使它的一边$EF$在$BC$上,顶点$G$,$H$分别在$AC$,$AB$上,且$HG:HE=2:3$,$AD$与$HG$的交点为$M$. $(1)$求证:$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$； $(2)$求这个矩形$EFGH$的周长.

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在等边$\triangle ABC$中,$AB=11$,$P$、$Q$分别是边$BC$、$AC$上的点,且$\angle APQ=60^{\circ}$,$PC=8$,则$QC$的长是______.

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如图,在$\odot O$中,$\widehat {AB}=\widehat {AC}$,$\angle BOC=120^{\circ}$.求证$\triangle ABC$是等边三角形.

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如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

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在矩形$ABCD$中,已知两条邻边$AB$与$BC$的长分别为$2$和$3$,若$M$是边$CD$的中点,连接$AM$,过点$B$作$BH\bot AM$,垂足为$H$,则$BH$的长为（ ）

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如果$C$是线段$AB$延长线上一点,且$AC:BC=3:1$,那么$AB:BC$等于（ ）

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若$\left(m+1\right)x^{|m|+1}+6x-2=0$是关于$x$的一元二次方程,求$m$的值.

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如图,$D$是等边三角形$ABC$内一点,将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$,得到线段$AE$,连接$CD$,$BE$. $(1)$求证:$\angle AEB=\angle ADC$； $(2)$连接$DE$,若$\angle ADC=130^{\circ}$,求$\angle BED$的度数.

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如果$\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF$,且$\triangle ABC$的三边长分别为$4$、$5$、$6$,$\triangle DEF$的最短边长为$12$,那么$\triangle DEF$的周长等于____.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD$为$BC$边上的中线,$BE$平分$\angle ABC$交$AD$于点$E$,$EF\bot AB$于点$F$,连接$CE$,若$EF=1$,$BD=2$,则$\triangle CDE$的面积是____.

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如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（ ）

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如图,一块材料的形状是锐角三角形$ABC$,边$BC$长$12cm$,$BC$边上的高$AD$为$6cm$,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在$BC$上,其余两个顶点分别在$AB$、$AC$上,则这个正方形零件的边长是（ ）

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若$\alpha $、$\beta $是方程$x^{2}+3x-2023=0$的两个实数根,则$\alpha ^{2}+4\alpha +\beta $的值为______.

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如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$相交于点$F$,延长$BC$到点$E$,使$CE=BC$,连接$DE$,连接$AE$交$BD$于点$G$,交$CD$于点$H$. $(1)$求证:四边形$ACED$是平行四边形； $(2)$求证:$DG^{2}=FG\cdot BG$； $(3)$若$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,求线段$\frac{GF}{GH}$的值.

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（2010•萝岗区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE= ．

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如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE:EB=1:2$,$E$为$AB$上一点,$AC$与$DE$相交于点$F. S_{\triangle AEF}=3$,则$S_{\triangle FCD}$为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上$,DE$ ∥ $BC$,$AD:BD=1:2$,那么$S_{\triangle ABE}$:$S_{\triangle ABC}= \_\_\_\_\_\_.$

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如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$.点$D$为$AB$的中点,过$A$作$AG\bot CD$于点$G$,过$B$作$BF\bot AB$交$AG$的延长线于点$F$,$AF$与$BC$相交于点$E$.连接$DE$.则下列结论: ①$\angle BAG=\angle ACD$； ②$AG=BF$； ③$CD=AE+DE$； ④$\angle CDA=\angle

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