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已知方程①:$2-3\left(x+1\right)=0$,方程②:$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$.若方程①与方程②的解互为倒数,求$k$的值.

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我们规定:若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$,则称该方程为"和谐方程". 例如:方程$2x=-4$的解为$x=-2$,而$-2=-4+2$,则方程$2x=-4$为"和谐方程". 请根据上述规定解答下列问题: $(1)$已知关于$x$的一元一次方程$-4x=m$是"和谐方程",则$m$的值为______； $(2)$已知关于$x$的一元一次方程$2x=m+n$是"和谐方程",则$m+n$的值为______.

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我们规定.关于$x$,$y$的二元一次方程$ax+by=c$,若满足$a+b=c$,则称这个方程为"幸福"方程.例如:方程$2x+3y=5$,其中$a=2$,$b=3$,$c=5$,满足$a+b=c$,则方程$2x+3y=5$是"幸福"方程,把两个"幸福"方程合在一起叫"幸福"方程组.根据上述规定,回答下列问题, $(1)$判断方程$3x+5y=8 $______"幸福"方程（填"是"或"不是"）； $(2)$若关于$x$,$y$的二元

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如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A\left(0,3\right)$,$B\left(-2,3\right)$,将$\triangle ABO$向左平移到$\triangle CDE$位置,$A$的对应点是$C$,$O$的对应点是$E$,函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$C$和$DE$的中点$F$,则$k$的值是______.

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如图,已知在$\triangle ABC$中,$AB=AC=10cm$,$BC=8cm$,点$D$为$AB$的中点.如果点$P$在线段$BC$上以$3cm/s$的速度由点$B$向点$C$运动,同时,点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动. $(1)$当点$Q$的运动速度为多少时,能够使$\triangle BPD$与$\triangle CQP$全等? $(2)$若点$Q$以$4cm/s$的运动速度从点$C$出发,点$P$以原

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如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC， 求证：AD是∠BAC的平分线．

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在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究. $(1)$初步尝试:我们知道:$\tan 60^{\circ}=\_\_\_\_\_\_,\tan 30^{\circ}=\_\_\_\_\_\_,$发现结论:$\tan 2A \_\_\_\_\_\_2\tan A;($选填"$=$"或"$\neq ")$ $(2)$实践探究:如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$在边$AB$上,且满足$\angle ACD=\angle ABC$,若$AC=3$,$AD=2$,则$DB=$____.

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如果两个不等式存在公共解,那么称这两个不等式互为"友好不等式". $(1)$在不等式①$2x-1 \lt 0$,②$x\leqslant 2$,③$x-\left(3x-1\right) \lt -5$中,与不等式$x\geqslant 2$互为"友好不等式"的是______$;(填序号)$ $(2)$若关于$x$的不等式$x+2m\geqslant 0$与$2x-3 \lt x+m$不是"友好不等式",求$m$的取值范围； $(3)$

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我们规定,关于$x$,$y$的二元一次方程$ax+by=c$,若满足$a+b=c$,则称这个方程为"最佳"方程例如:方程$3x+4y=7$,其中$a=3$,$b=4$,$c=7$,满足$a+b=c$,则方程$3x+4y=7$是"最佳"方程,把两个"最佳"方程合在一起叫"最佳"方程组. 根据上述规定,回答下列问题: $(1)$判断方程$3x+5y=8 $______"最佳"方程（填"是"或"不是"）； $(2)$若关于$x$,$y$的二元

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已知$\triangle ABE$ ≌ $\triangle ECD,AB\bot BC,$下列四个结论:①$AB$ ∥ $CD;$②$AE\bot DE$；③$\angle A=\angle D$；④$BC=AB+CD$.其中正确的结论有（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是高,$AE$是角平分线,点$F$在$BC$的延长线上,过点$F$作$FH\bot AE$,交$AB$于$H$,下列四个结论: ①$\angle DAE=\angle F$； ②$\angle AEC=\angle B+\angle EAC$； ③$2\angle AEF=\angle ACF+\angle BAE$； ④$2\angle F=\angle ACB-\angle B$.

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如图,在$\triangle ABD$中,$C$是边$BD$上一点.若$AB=AC=CD$,$\angle BAC=40^{\circ}$,则$\angle D=$____$^{\circ}$.

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下列条件中，能判定两个直角三角形全等的个数有 个． ①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一条直角边对应相等；④面积相等．

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如图,$AD$是$\triangle ABC$的角平分线,$DE$、$DF$分别是$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的高. （1）求证:$AD$垂直平分$EF$. （2）若$AB+AC=16$,$S_{\triangle ABC}=24$,$\angle EDF=120^{\circ}$,求$AD$的长.

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如图,点$D$是$\triangle ABC$外一点,$DB=DC$,连接$DA$,$\angle BDC=\angle BAC$,过点$D$作$DE\bot AB$于$E$,$AB=16$,$AE=2$,则$AC=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$为边$AB$的三等分点,点$F$,$G$在边$BC$上,且$AC$ ∥ $DG$ ∥ $EF,$点$H$为$CE$与$DG$的交点.若$AC=12$,则$GH$的长为（ ） ​

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如图,矩形$ABCD$中,$AB=\sqrt{3}$,$BC=1$,动点$E$,$F$分别从点$A$,$C$同时出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿$AB$,$CD$向终点$B$,$D$运动,过点$E$,$F$作直线$l$,过点$A$作直线$l$的垂线,垂足为$G$,则$AG$的最大值为（ ）

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矩形$ABCD$中,$E$为$BC$上一点,$DF\bot AE$于点$F.AB=6m$,$AD=12m$,$CE=4m$. $(1)$求证:$\triangle ABE$ ∽ $\triangle DFA$； $(2)$求$AF$的长；

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若$x=-3$是方程$2m=3+5x$的解,则$m$的值为______.

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