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若$\alpha $、$\beta $是方程$x^{2}+3x-2023=0$的两个实数根,则$\alpha ^{2}+4\alpha +\beta $的值为______.

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如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$相交于点$F$,延长$BC$到点$E$,使$CE=BC$,连接$DE$,连接$AE$交$BD$于点$G$,交$CD$于点$H$. $(1)$求证:四边形$ACED$是平行四边形； $(2)$求证:$DG^{2}=FG\cdot BG$； $(3)$若$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,求线段$\frac{GF}{GH}$的值.

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（2010•萝岗区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为9，则BE= ．

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如图,在平行四边形$ABCD$中,$AE:EB=1:2$,$E$为$AB$上一点,$AC$与$DE$相交于点$F. S_{\triangle AEF}=3$,则$S_{\triangle FCD}$为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上$,DE$ ∥ $BC$,$AD:BD=1:2$,那么$S_{\triangle ABE}$:$S_{\triangle ABC}= \_\_\_\_\_\_.$

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如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$.点$D$为$AB$的中点,过$A$作$AG\bot CD$于点$G$,过$B$作$BF\bot AB$交$AG$的延长线于点$F$,$AF$与$BC$相交于点$E$.连接$DE$.则下列结论: ①$\angle BAG=\angle ACD$； ②$AG=BF$； ③$CD=AE+DE$； ④$\angle CDA=\angle

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如果关于$x$的分式方程$\frac{ax+1}{1-x}=2$无解,那么$a$的值是______.

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如图,正方形$ABCD$中,$E$为$BC$边上一点,连接$DE$,将线段$DE$绕点$E$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$EF$,连接$DF$、$BF$,若$\angle ADF=\alpha $,则$\angle EFB$的度数为______.(用含$\alpha $的代数式表示）

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如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=4$,$E$是边$BC$上一动点,$F$是对角线$BD$上一动点,且$BE=DF$,则$DE+CF$的最小值为______.

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综合与探究:已知:如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=8cm$,$BC=6cm$,点$P$由$B$出发沿$BA$方向向点$A$匀速运动,速度为$1cm/s$；点$Q$由$A$出发沿$AC$方向向点$C$匀速运动,速度为$2cm/s$；连接$PQ$.若设运动的时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 4\right)$,解答下列问题: $(1)

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=3$,$BC=4$,$D$是$\triangle ABC$内一个动点,且$\triangle ACD$ ∽ $\triangle BCE$,连接$DE$. $(1)$求证:$\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEC$； $(2)$当$A$、$D$、$E$三点共线时,且$AD$平分$\angle CAB$.求证:$C

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如果两个相似三角形对应面积的比为$10:9$,则这两个三角形对应周长的比是（ ）

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如图,四边形$ABCD$是菱形,$AE\bot BC$于点$E$,$AF\bot CD$于点$F$.求证:$\triangle ABE$ ≌ $\triangle ADF.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$DE$是$\triangle ABC$的中位线,若$\triangle BDE$的面积为$S_{1}$,$\triangle ABC$的面积为$S_{2}$,则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\left(\ \ \right)$

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如图,以线段$AB$为直径作$\odot O$,交射线$AC$于点$C$,$AD$平分$\angle CAB$交$\odot O$于点$D$,过点$D$作直线$DE\bot AC$于点$E$,交$AB$的延长线于点$F$.连接$BD$并延长交$AC$于点$M$. $(1)$求证:直线$DE$是$\odot O$的切线； $(2)$求证:$AB=AM$； $(3)$若$ME=1$,$\angle F=30^{\circ}$,求$BF$的长

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如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F． 求证：AE=CF． （说明：写出证明过程中的重要依据）

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（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式； （2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°； （3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的 公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

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已知$\triangle ABC$ ∽ $\triangle DEF$,其相似比为$2:3$,则它们的周长之比为______.

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如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； （2）求正方形边长及顶点C的坐标； （3）在（

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已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围； （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．

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