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如图,在边长为$3$的菱形$ABCD$中,点$E$在边$CD$上,点$F$为$BE$延长线与$AD$延长线的交点,若$DE=1$,则$DF$的长为____.

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如图,在正方形网格上有两个相似三角形$ABC$和$\triangle DEF$,则$\angle BAC$的度数为______.

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在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A\left(3,0\right)$,$B\left(2,-2\right)$,将线段$OA$绕点$O$逆时针旋转,设旋转角为$\alpha \left(0^{\circ} \lt \alpha\ \ \lt 135^{\circ}\right)$.记点$A$的对应点为$A_{1}$,若点$A_{1}$与点$B$的距离为$\sqrt{17}$,则$\alpha =$____.

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如图,在矩形$ABCD$中,点$O$为对角线$AC$、$BD$的交点,点$E$为$BC$上一点,连接$EO$,并延长交$AD$于点$F$,则图中全等三角形共有$\left(\ \ \right)(不包含直角三角形全等)$

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（2006•河池）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，请你再添加一个条件： ，使△ABE≌△ACD．

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,点$D$在边$AC$上,且$DE\bot AC$交$BC$于点$E$. $(1)$求证:$\triangle CDE$ ∽ $\triangle CBA$； $(2)$若$AB=3$,$AC=5$,$E$是$BC$中点,求$DE$的长.

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如图:已知▱$ABCD$,过点$A$的直线交$BC$的延长线于$E$,交$BD$、$CD$于$F$、$G$. $(1)$若$AB=3$,$BC=4$,$CE=2$,求$CG$的长； $(2)$证明:$AF^{2}=FG\times FE$.

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如图,$\angle A=90^{\circ}$,$AB=AC$,$BC=20$,四边形$EFGH$是$\triangle ABC$的内接矩形,若$EH$的长为$x$,矩形$EFGH$的面积为$y$,则$y$与$x$的函数解析式为______.

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如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8cm$,$BC=4cm$.点$P$从点$A$出发,沿$AD$方向向点$D$匀速运动,速度是$1cm/s$；同时,点$Q$从点$B$出发,沿$BA$方向向点$A$匀速运动,速度是$2cm/s$.连接$PQ$,$CP$,$CQ$,设运动时间为$t\left(s\right)\left(0 \lt t \lt 4\right)$. $(1)$是否存在某一时刻$t$,使得$PQ\bot QC$?若存在,求出

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如图,$\triangle ABC$是等边三角形,点$E$、$D$分别在$AB$、$AC$上,$CE$和$BD$交于点$F$,若$\angle BFC=120^{\circ}$,$CE=7$,$DF=1$,则$BC=\_\_\_\_\_\_.$

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若$\alpha $、$\beta $是方程$x^{2}+3x-1=0$的两个实数根,则$\alpha ^{2}+2\alpha -\beta =\_\_\_\_\_\_.$

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若两个相似三角形的相似比为$3:4$,则它们的面积比为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AC=3$,$BC=6$,$D$为$BC$边上的一点,且$\angle BAC=\angle ADC$,则$CD= $______,若$\triangle ADC$的面积为$a$,则$\triangle ABC$的面积为______.

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如图,在平行四边形$ABCD$中,过点$A$作$AE\bot BC$,垂足为$E$,连接$DE$,$F$为线段$DE$上一点,且$\angle AFE=\angle B$. $(1)$求证:$\triangle ADF$ ∽ $\triangle DEC$； $(2)$若$AB=8$,$AD=6\sqrt{3}$,$AF=4\sqrt{3}$,求$AE$的长.

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将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．

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如图,在$Rt\triangle ABC$两直角边$AC$、$BC$上分别作正方形$ACDE$、正方形$CBFG$,连结$DG$.线段$AB$,$BF$,$FG$,$GD$,$DE$,$EA$的中点依次为$P$,$L$,$K$,$I$,$H$,$Q$.若$AC=12$,$BC=24$,求六边形$HIKLPQ$的面积.

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$、$F$分别在$BC$、$AB$、$AC$上$,DE$ ∥ $AC,DF$ ∥ $AB,$则下列结论不一定正确的是（ ）

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如图,在平行四边形$ABCD$中,点$E$为$BC$边上一点,连结$DE$,点$F$为线段$DE$上一点,且$\angle AFE=\angle B$.求证:$\triangle ADF$ ∽ $\triangle DEC.$

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如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE． （1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由． （2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．

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已知一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$的两个实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,下列说法:①若$a$,$c$异号,则方程$ax^{2}+bx+c=0$一定有实数根；②若$b=a+c$,则方程$ax^{2}+bx+c=0$一定有实数根；③若$a=1$,$b=2$,$c=3$,由根与系数的关系可得$x_{1}+x_{2}=-2$,$x_{1}x_{2}=3$,其中结论正确的个数有（ ）

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