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综合实践活动中,小明想观测底部无法到达的目标$P$的仰角.他自制一种测角仪,将细线一端固定在图$1$的量角器圆心$O$处,另一端系小重物$G$.测量时,使支杆$OM($高度为$1.5$米）、量角器$90^{\circ}$刻度线$ON$与铅垂线$OG$相互重合,然后按图$2$所示,绕点$O$转动量角器,使观测目标$P$与直径两端点$A$,$B$共线,小明通过量角器的刻度直接读取$\angle BOG$的度数$\alpha $,得到目标$P

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安装了软件"$SmartMeasure$"的智能手机可以测量物高.其数学原理是:该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度.如图$2$小明测得大树底端$C$点的俯角$\alpha $,顶端$D$点的仰角$\beta $,点$A$离地面的高度$AB=a m$.则大树$CD$的高为（ ）

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墨迹覆盖了等式" $\cdot \frac{x^{2}-3x}{x^{2}-6x+9}-\frac{x-4}{3-x}=\frac{x+1}{x-3}$"中的一个代数式 ,求这个被墨迹覆盖的代数式 .

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若关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-2x-1=0$无实数根,则一次函数$y=mx+m$的图象不经过第____象限.

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根据下列条件解直角三角形. $(1)$在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$b=5$,$c=10$； $(2)$在$Rt\triangle ABC$中,$∠C=90°,∠A=30°,{S}_{△ABC}=20\sqrt{3}$.

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如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=6$,$D$是$AC$上一点,若$\tan \angle DBA=\frac{1}{5}$,则$AD$的长为____.

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若$ab \lt 0$,则正比例函数$y=ax$与反比例函数$y=\frac{b}{x}$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）

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解下列方程: $(1)x^{2}+5x-1=0$； $(2)7x\left(5x+2\right)=6\left(5x+2\right)$.

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用适当的方法解下列方程: $(1)x^{2}+2x-3=0$； $(2)\left(x-1\right)^{2}=3\left(x-1\right)$.

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已知二次函数$y=x^{2}-5x+6$与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）,与$y$轴交于点$C$. $(1)$求$A$,$B$,$C$三点的坐标； $(2)$求$\triangle ABC$的面积.

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一圆柱形排水管的截面如图所示,已知排水管的半径为$1m$,水面宽$AB$为$1.6m$.由于天气干燥,水管水面下降,此时排水管水面宽变为$1.2m$,求水面下降的高度.

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如图,半径为$7$的$\odot O$上有一动点$B$,$A$为半径$OE$上一点,且$AB$的最大值为$10$,以$AB$为边向外作正方形$ABCD$,连接$DE$,则$DE$的最小值为______.

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某款服装每件进价为200元，按标价的八折销售时，利润率为10%，设这款服装每件的标价为x元，根据题意可列方程为： ．

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武汉东湖高新开发区某企业新增了一个项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型 价格（万元/台） 12 10 月污水处理能力（吨/月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨． 设购买A种型号的污水处理设备x台，可列不等式组 ．

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一项工程，甲单独做10天可以完成，乙单独做15天可以完成，甲队先做两天，余下的工程由两队合做x天可以完成，则由题意可列出的方程是 ．

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解下列关于$x$的方程: $(1)\left(2x-1\right)^{2}-9=0$； $(2)5x^{2}+2x-1=0$； $(3)x^{2}-3x-2=0$.

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如图,点$A\left(5a-1,2\right)$、$B\left(8,a\right)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象上,点$P$是直线$y=x$上的一个动点,当$PA+PB$最小时,点$P$坐标是（ ）

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选用适当的方法解下列方程. $(1)x^{2}-x-6=0$； $(2)x^{2}+3x=0$.

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如图,抛物线$y=x^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,过点$A$的直线$l$交抛物线于点$C\left(2,m\right)$. $(1)$求抛物线的解析式. $(2)$点$P$是线段$AC$上一个动点,过点$P$作$x$轴的垂线交抛物线于点$E$,求线段$PE$最大时点$P$的坐标. $(3)$点$F$是抛物线上的动点,在$x$轴上是否存在点$D$,

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如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于$A\left(-1,n\right)$、$B\left(2,-1\right)$两点,与$y$轴相交于点$C$. $(1)$求一次函数与反比例函数的解析式； $(2)$请直接写出不等式$kx+b \gt \frac{m}{x}$的解集； $(3)$若点$D$与点$C$关于$x$轴对称,求$\triangle ABD$的面积.

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