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如图$1$,$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,点$E$是$AB$边上一点,且点$E$不与$A$、$B$重合,$ED\bot AC$于点$D$. $(1)$当$\sin B=\frac{1}{2}$时, ①求证:$BE=2CD$； ②当$\triangle ADE$绕点$A$旋转到如图$2$的位置时$\left(60^{\circ} \lt \angle CAD \lt 90^{\circ}

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如图,$\triangle ABC$与$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$关于点$O$成中心对称,下列结论中不成立的是（ ）

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如图,梯形$ABCD$中$,AD$ ∥ $BC,AB=DC,\angle DBC=45^{\circ}$,点$E$在$BC$上,点$F$在$AB$上,将梯形$ABCD$沿直线$EF$翻折,使得点$B$与点$D$重合.如果$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{4}$,那么$\frac{AF}{BF}$的值是（ ）

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如图,$AC$,$BD$是四边形$ABCD$的对角线,点$E$,$F$分别是$AD$,$BC$的中点,点$M$,$N$分别是$AC$,$BD$的中点.若四边形$EMFN$是矩形,则原四边形$ABCD$应满足的条件是（ ）

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菱形$ABCD$的一条对角线长为$8$,边$AB$的长是方程$x^{2}-8x+12=0$的一个根,则菱形$ABCD$的周长为______.

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剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是$(\quad)$

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如图,抛物线$C_{1}$:$y=x^{2}-2x\left(0\leqslant x\leqslant 2\right)$交$x$轴于$O$,$A$两点；将$C$绕点$A$旋转$180^{\circ}$得到抛物线$C_{2}$,交$x$轴于$A_{1}$；将$C_{2}$绕点$A_{1}$旋转$180^{\circ}$得到抛物线$C_{3}$,交$x$轴于$A_{2}$,$\ldots $,如此进行下去,则抛物线$C_{10}$的解析

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如图,将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle EDC$.若点$A$,$D$,$E$在同一条直线上,$\angle ACB=30^{\circ}$,则$\angle ADC$的度数是（ ）

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若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为 ．

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如图,点$P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象上任意一点,过点$P$作$PM\bot x$轴,垂足为$M$,若$\triangle POM$的面积等于$3$,则$k$的值等于（ ）

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$6$个全等的小正方形如图放置在$\triangle ABC$中,则$\tan B$的值是______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$,过$D$作$DE$ ∥ $BC$交$AB$于点$E,DF$ ∥ $AB$交$BC$于点$F$,连接$EF$. $(1)$求证:四边形$BFDE$是菱形； $(2)$若$AB=8$,$AD=4$,求$BF$的长.

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如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过▱$ABCD$对角线的交点$P$,已知点$A$,$C$,$D$在坐标轴上,$BD\bot DC$,▱$ABCD$的面积为$6$,则$k=\_\_\_\_\_\_.$

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图形:①平行四边形,②正方形,③菱形,④矩形；其中对角线一定垂直的有（ ）

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$(1)$如图$1$,请只用无刻度直尺找出$\triangle ABC$的外心点$O$；并直接写出其外接圆半径______； $(2)$如图$2$,请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心$P$.

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如图,$AE$,$AD$,$BC$分别切$\odot O$于点$E$,$D$,$F$,若$AD=20$,求$\triangle ABC$的周长.

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如图,在菱形$ABCD$和菱形$BEFG$中,点$A$、$B$、$E$在同一直线上,$P$是线段$DF$的中点,连接$PG$,$PC$.若$\angle ABC=\angle BEF=60^{\circ}$,则$\frac{PG}{PC}=\left(\ \ \right)$

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如图,$A$、$B$、$P$、$C$是$\odot O$上的四个点,$B$、$C$在点$O$下方,且$\angle APC=\angle APB$. $(1)$若$\angle APC=\angle APB=60^{\circ}$,求证:$\triangle ABC$是等边三角形； $(2)$若$BC=8$,$\odot O$的半径为$5$,求$AB$的长.

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如图,矩形$ABCD$的顶点$A$和对称中心恰好在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0,x \lt 0)$上,若矩形$ABCD$的面积为$8$,则$k$的值为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,过点$D$作$DE\bot AC$,垂足为点$E$,延长$CA$交$\odot O$于点$F$,连接$BF$. $(1)$求证:$DE$是$\odot O$的切线； $(2)$连接$OE$,若$BF=2\sqrt{5}$,$FC=10$,求$OE$的长.

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