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在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,抛物线$y=-x^{2}+bx+1(b$为常数）的顶点坐标为$\left(1,2\right)$,抛物线与$y$轴相交于点$A$,点$P$在此抛物线上,其横坐标$m$,该抛物线在$A$,$P$两点之间的部分（包括$A$,$P$两点）记为图象$G$. $(1)$求该抛物线对应的函数表达式； $(2)$当图象$G$与$x$轴有交点时,求$m$的取值范围； $(3)$设图象$G$的最高点与最低点的纵坐标

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已知二次函数自变量$x$与函数$y$的部分对应值如表: $x$ $\ldots $ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $5$ $0$ $-3$ $-4$ $-3$ $0$ $m$ $\ldots $ $(1)$二次函数图象的开口方向______,$m$的值为______. $(2)$求出这个二次函数的解析式； $(3)$当$y \lt 0$时,$x$的取值范围是多

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如图,以点$O$为位似中心,将$\triangle ABC$缩小得到$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$,若$\frac{OA′}{OA}=\frac{1}{3}$,$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$的周长为$2$,则$\triangle ABC$的周长为____.

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如图$,AB$ ∥ $GH$ ∥ $CD,$点$H$在$BC$上,$AC$与$BD$交于点$G$,$AB=4$,$CD=6$,则线段$GH$长为（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AB=6$,点$D$,$E$分别在边$AB$,$AC$上,且$AD=2DB$,$AC=2AE$,连接$BE$,$CD$,相交于点$O$,则$\triangle ABO$面积最大值为（ ）

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如图$,AD$ ∥ $BE$ ∥ $FC$,它们依次交直线$l_{1}$、$l_{2}$于点$A$、$B$、$C$和点$D$、$E$、$F$.如果$AB=2$,$AC=5$,那么$\frac{DE}{EF}$的值是______.

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解下列方程: $2{x}^{2}-4\sqrt{2}x+1=0$.

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已知抛物线$y=x^{2}-2kx+k^{2}+k-2$的顶点在坐标轴上,则$k$的值是______.

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如图,在$\triangle ABC$中$,DE$ ∥ $BC,AD=6,DB=3,AE=4,$则$EC$的长为（ ）

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如图,$\triangle ABC$与$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$是位似图形,则$\triangle ABC$与$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$的位似比为____.

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\(\triangle ABC\)三个顶点的坐标分别为\(A(1,2)\)，\(B(3,1)\)，\(C(2,3)\)，以原点\(O\)为位似中心，将\(\triangle ABC\)放大为原来的\(2\)倍得到\(\triangle A'B'C'.\) \((1)\)在图中的第一象限内画出符合要求的\(\triangle A'B'C'(\)不要求写画法\()\)； \((2)\)求\(\triangle A'B'C'\)的面积．

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若关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+3}{2}＞2}\\{2x-m≤2}\end{array}\right.$,有解且至多有两个偶数解,且关于$x$的分式方程$\frac{mx-3}{2-x}+\frac{1}{x-2}=1$的解为正整数,则符合条件的整数$m$的值的和为______.

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一次函数$y=ax+a$与二次函数$y=ax^{2}+ax+1$的图象可能是（ ）

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下列关于二次函数$y=-\left(x-m\right)^{2}+m^{2}+1(m$为常数）的结论:①该函数的图象与函数$y=-x^{2}$的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点$\left(0,1\right)$；③当$x \gt 0$时,$y$随$x$的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数$y=x^{2}+1$的图象上.其中所有正确结论的序号是______.

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《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位,其中有一个"绳索量竿"问题:"一支竿子一条索,索比竿子长一庹,折回索子却量竿,却比竿子短一庹.绳索竿子各几何?"其大意是:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长$5$尺（注:一庹等于五尺)；如果将绳索对折后再去量竿,那么比竿短$5$尺,问:绳索、竿子各长几尺?设绳索长$x$尺,竿长$y$尺,则可列方程组为（ ）

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如图,已知在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$,$F$分别是边$AB$,$AC$,$BC$上的点$,DE$ ∥ $BC,EF$ ∥ $AB,$且$AD:DB=3:5$,则$CF:CB=\left(\ \ \right)$

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如图$,AB$ ∥ $CD$ ∥ $EF,AF$与$BE$相交于点$G$,且$AG=2$,$GD=1$,$DF=5$,则$CE:BC=\left(\ \ \right)$

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD\bot AB$于点$E$,点$M$在$\odot O$上,$MD$恰好经过圆心$O$,连接$MB$. $(1)$若$CD=16$,$BE=4$,求$\odot O$的直径； $(2)$若$\angle M=\angle D$,求$\angle D$的度数.

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如图,点$O$为$\triangle ABC$的外接圆圆心,点$E$为圆上一点,$BC$、$OE$互相平分,$CF\bot AE$于$F$,连接$DF$.若$OE=2\sqrt{3}$,$DF=1$,则$\triangle ABC$的周长为____.

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如图,在直角坐标系中,四边形$OABC$为正方形,顶点$A$,$C$在坐标轴上,以边$AB$为弦的$\odot M$与$x$轴相切,若点$A$的坐标为$\left(0,8\right)$,则圆心$M$的坐标为______.

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