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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$D$是$AC$边的中点,点$E$是$AB$边的中点,若$AB=8\sqrt{3}$,则$DE$的长是______.

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如图,图（1）、图（2）、图（3）、图（4）分别由若干个点组成,照此规律,若图$\left(n\right)$中共有$129$个点,则$n=\left( \right)$

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如图. $(1)$写出四边形$ABCD$的各个顶点的坐标； $(2)$以坐标原点$O$为位似中心,作与四边形$ABCD$的位似比为$3$的位似四边形${A\’}{B\’}{C\’}{D\’}$.画出四边形${A\’}{B\’}{C\’}{D\’}$,并写出四边形${A\’}{B\’}{C\’}{D\’}$各顶点的坐标.

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如图,已知$AB$ ∥ $CD$ ∥ $EF,$那么下列结论正确的是（ ）

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如图,已知$AB$ ∥ $CD$ ∥ $EF,BC:CE=3:4,AF=21,$那么$DF$的长为（ ）

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已知$\triangle ABC$中,$AB=12$,$AC=9$,$\angle B=45^{\circ}$,则$BC$的长等于______.

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如图,点${D}$、${E}$、${F}$分别是${\triangle ABC}$的边${AB}$、${AC}$、${BC}$上的点,若${DE\,//\,BC}$,${EF\,//\,AB}$,则下列比例式一定成立的是（ ）

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如图,在正方形网格中,点$A$,$B$,$C$,$O$均在格点上,以$O$为位似中心,把$\triangle ABC$按相似比$1:2$缩小.(仅用无刻度的直尺,按要求画图,保留画图痕迹）

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如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为$1$,点$A$、$B$、$D$均在小正方形的顶点上,且点$B$、$C$在$AD$上,$\angle BAC=25^{\circ}$,则$\widehat {BC}$的长为____.(结果保留$\pi )$

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在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$和$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的相似比等于$1:3$,并且是关于原点$O$的位似图形,若点$A$的坐标为$\left(2,1\right)$,则其对应点$A_{1}$的坐标是______.

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解方程: $(1)4\left(x-1\right)^{2}-8=0$； $(2)x^{2}-10x+16=0$； $(3)2x^{2}+3x-1=0$.

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如图,抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$与坐标轴交于$A$,$B$,$C$三点,其中点$B$和点$C$的坐标分别为$\left(2,0\right)$和$\left(0,-5\right)$. $(1)$求抛物线的解析式. $(2)$求线段$AB$的长. $(3)$如图$2$,$P$为抛物线第三象限上的一个动点,过点$P$作$PH$ ∥ $x$轴,交$y$轴于点$H$,连接$PC$,$PB$,$PB$与$y$轴

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如图,$\odot O$的直径$AB=2\sqrt{3}$,$AM$,$BN$分别是它的两条切线,$DE$与$\odot O$相切于点$E$,并与$AM$、$BN$分别交于$D$、$C$两点,$AD=x$,$BC=y$,则$y$关于$x$的函数表达式为______.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$AB=10$,点$O$为$AB$的中点,以点$C$为圆心,$5$为半径作$\odot C$,则下列判断错误的是（ ）

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$是$\odot O$上一点,连接$BC$,$AC.OD\bot BC$于$E$,交$\odot O$于点$D$. $(1)$求证:$OD$ ∥ $AC$； $(2)$若$BC=8$,$DE=2$,求$\odot O$的半径.

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如图,$PA$,$PB$分别切$\odot O$于$A$,$B$两点,$\angle P=40^{\circ}$,点$C$是$\odot O$上一点,则$\angle ACB$的度数为______.

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如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$的垂直平分线与边$AD$、$BC$分别交于点$E$、$F$,求证:四边形$AFCE$是菱形.

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如图,直径为$10$的$\odot E$与$y$轴交于$A$、$B$两点,与$x$轴交于点$C\left(-1,0\right)$、$D\left(7,0\right)$,$OE$的延长线与圆$E$交于点$G$,点$M$是线段$OE$上一个动点,作$NM\bot OG$于$y$轴交于点$N$,连接$MB$. $(1)$求点$E$的坐标； $(2)$设$MO$的长为$x$,$\triangle BMN$的面积为$y$,求$y$关于$x$的

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如图,$AB$为$\odot O$的直径,$BC$是圆的切线,切点为$B$,$OC$平行于弦$AD$. $(1)$求证:$DC$是$\odot O$的切线； $(2)$直线$AB$与$CD$交于点$F$,且$DF=4$,$AF=2$,求$\odot O$的半径.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$,$D$是$\odot O$上的两点,$\angle CDB=25^{\circ}$,过点$C$作$\odot O$的切线交$AB$延长线于点$E$,则$\angle E$的度数为______.

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