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已知一次函数的图象经过$A\left(-1,3\right)$和$B\left(3,-1\right)$两点. $(1)$求这个一次函数的表达式； $(2)$求一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积.

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如图,$PA$、$PB$切$\odot O$于点$A$、$B$,直线$FG$切$\odot O$于点$E$,交$PA$于$F$,交$PB$于点$G$,若$PA=8cm$,则$\triangle PFG$的周长是（ ）

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如图,$P$是$\odot O$外的一点,$PA$、$PB$分别与$\odot O$相切于点$A$、$B$,$C$是$\widehat {AB}$上的任意一点,过点$C$的切线分别交$PA$、$PB$于点$D$、$E$,若$\triangle PDE$的周长是$10$,则$PA=$____.

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如图,等腰$\triangle ABC$中,$AB=BC$,$AB$为$\odot O$的直径,$AC$交$\odot O$于点$D$,弦$DF\bot AB$于点$E$； $(1)$如图$1$,求证:$\angle ABC=2\angle ADE$； $(2)$如图$2$,$BC$交$\odot O$于点$G$,连接$FG$交直径$AB$于点$H$,求证:$AE=EH$； $(3)$如图$3$,过点$H$作$HN\bot BG$于点$

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$P$为$BC$边上一动点（不与点$B$,$C$重合),连接$AP$,过点$P$作射线$PM$交$AC$于点$M$,使$\angle APM=\angle B$.求证:$\triangle ABP$ ∽ $\triangle PCM.$

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如图①,有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线,该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为$1$米,喷出的抛物线形水柱对称轴为直线$x=10$.用该灌溉装管灌溉一坡地草坪,其水柱的高度$y(单位:米)$与水柱落地处距离喷水头的距离$x($单位:米）之间的函数关系式为$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,其图象如图②所示.已知坡地$OB$所在直线经过点$\left(10,1\right)$. $(

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分解因式:$3m^{2}-3=$____.

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抛物线$y=x^{2}+x-1$与$y$轴的交点是______.

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已知抛物线$y=x^{2}+2x-3$,填空并画图: $(1)$该抛物线的对称轴是______,顶点坐标是______； $(2)$选适当数据填入下表,并在图中直角坐标内描点画出该抛物线的图象； $x$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ $y$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ $(3)

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如果二次函数$y=x^{2}-2x+k-3$的图象经过原点,那么$k$的值是______.

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如果三角形有一边上的中线长等于这边的长,那么称这个三角形为"好玩三角形".若$Rt\triangle ABC$是"好玩三角形",且$\angle A=90^{\circ}$,则$\tan \angle ABC=$____.

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$AE$、$CE$、$CB$为$\odot O$的弦,$AO=\frac{13}{2}$,$AE=12$,则$\sin \angle BCE=\left(\ \ \right)$

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle B=60^{\circ}$,$D$是$AC$上一点,$DE\bot AB$于$E$,且$CD=2$,$DE=1$,则$BC$的长为（ ）

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先化简$(1+\frac{1}{x-2})÷\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}-4}$,然后从$-1$,$1$,$-2$,$2$中选取一个合适的数作为$x$的值代入求值.

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先化简,再求值:$({\frac{x}{{x-2}}-1})÷\frac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-4x+4}}$,并从$-2$,$2$,$4$中选一个合适的数作为$x$的值代入求值.

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已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭,小火箭点火的时刻记为$0s$,在火箭飞行过程中,经仪器追踪测量小火箭与地面的距离$h\left(m\right)$与飞行时间$t\left(s\right)$近似满足函数表达式$h=-t^{2}+24t+1$.关于小火箭的飞行过程有以下推论: ①点火后$9s$和点火后$15s$小火箭与地面的距离相同； ②点火后$24s$火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面$141m$时,飞行时间为$

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综合与探究 如图,二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,点$A$的坐标为$\left(-4,0\right)$,且$ OA=OC$,$E$是线段$OA$上的一个动点,过点$E$作直线$EF$垂直于$x$轴交直线$AC$和抛物线分别于点$D$、$F$. ​ $(1)$求抛物线的解析式. $(2)$设点$E$的横坐标为$m$.当$m$为何值时,线段$DF$有最大值,并写出最大值

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$2024$年巴黎奥运会顺利闭幕,吉祥物"弗里热"深受奥运迷的喜爱,一商场以$20$元的进价进一批"弗里热"纪念品,以$30$元每个的价格售出,每周可以卖出$500$个,经过市场调查发现,价格每涨$10$元,就少卖$100$个. $(1)$若商场计划一周的利润达到$8000$元,并且更大优惠让利消费者,售价应定为多少钱? $(2)$商场改变销售策略,在不改变（1）的销售价格基础上,销售量稳步提升,两周后销售量达到了$484$个,求这两周

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先化简:$(x-1-\frac{3}{x+1})\div \frac{x^2-4}{x^2+2x+1}$,其中$1 \lt x \lt 4$,选择一个你喜欢的整数代入求值.

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如图所示的是我国古代著名的"赵爽弦图"的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中$AE=5$,$BE=13$,则$EF^{2}$的值是（ ）

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