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如图,$BC$是$\odot O$的直径,点$A$在$\odot O$上且平分弧$BE$,$AD\bot BC$于点$D$,$BE$分别交$AD$,$AC$于$F$,$G$. $(1)$求证:$FA=FB$； $(2)$若$D$为$BO$的中点,且半径$r=4$,求阴影部分面积.

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二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象经过点$\left(4,3\right)$,$\left(3,0\right)$. $(1)$求$b$、$c$的值； $(2)$求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； $(3)$若自变量$x$的范围为$-1 \lt x \lt 3$,求函数值$y$的取值范围.

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关于二次函数$y=2x^{2}-mx+m-2(m$为常数）的结论: ①该函数的图象与$x$轴总有公共点； ②不论$m$为何值,该函数图象必经过一个定点； ③若该函数的图象与$x$轴交于$A$、$B$两点,且$AB \gt 1$,则$m \gt 6$； ④若$x \gt 1$时,$y$随$x$的增大而增大,则$m\leqslant 4$.其中说法正确的是______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$,当$-2\leqslant x\leqslant 2$时,$-2\leqslant y\leqslant 2$. $(1)$若$b=0$,$c=2$,则$a= $______； $(2)$若抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A\left(2,-2\right)$和点$B\left(-2,2\right)$,则$a$的取值范围是______.

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在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$\angle EAF=90^{\circ}$,$AB\cdot AF=AC\cdot AE$. （1）求证:$\triangle AGC$ ∽ $\triangle DGB$； （2）若点$F$为$CG$的中点,$AB=3$,$AC=4$,$\tan \angle DBG=\dfrac{1}{2}$,求$DF$的长.

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如图,四边形$ABCD$中$,AB$ ∥ $CD,$且$AB=2CD$,$E$、$F$分别是$AB$、$BC$的中点,$EF$与$BD$相交于点$M$.求证:$\triangle EDM$ ∽ $\triangle FBM.$

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如图所示，点\(I\)为\(\triangle ABC\)的内心，点 \(O\)为\(\triangle ABC\)的外心，若\(∠BOC=140^{\circ}\)， 则\(∠BIC\)的度数为_________。

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$AC\bot BC$,$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$,$DE\bot AD$交$AB$于点$E$,$M$为$AE$的中点,$BF\bot BC$交$CM$的延长线于点$F$,$BD=4$,$CD=3$.下列结论①$\angle AED=\angle ADC$；②$\frac{DE}{DA}=\frac{3}{4}$；③$AC\cdot BE=12$；④$3BF=4A

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如图,点$E$在矩形$ABCD$的$AB$边上,将$\triangle ADE$沿$DE$翻折,点$A$恰好落在$BC$边上的点$F$处,若$CD=3BF$,$BE=4$,则$AD$的长为（ ）

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已知$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AD$、$BE$是角平分线,他们相交于$P$,$PF\bot AD$于$P$交$BC$的延长线于$F$,交$AC$于$H$. $(1)$求$\angle APB$的度数； $(2)$求证:$AH+BD=AB$； $(3)$连接$DE$,是否存在数$m$,使得$S_{四边形ABDE}=mS_{\triangle ABP}$?若存在,求出$m$；若不存在

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综合与实践:问题情境:数学课上,老师带领同学们"玩转直角三角形"的探究活动,老师将全等的两张直角三角形纸片$Rt\triangle ABC$,$Rt\triangle FDE$按如图$1$所示在同一平面内摆放,点$A$与点$F$重合,点$C$与点$E$重合,已知:$Rt\triangle ABC$ ≌ $Rt\triangle FDE,\angle ACB=\angle FED=90^{\circ}$,$\angle BAC=\angl

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AD$平分$\angle CAB$,$DE\bot AB$于$E$,若$CD=3$,$BD=5$,则$BE$的长为______.

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抛物线\(y=-x^{2}+x+2\)，观察图象：当\(-x^{2}+x+2\leqslant 0\)时，\(x\)的取值范围是\((\quad).\)

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如图，抛物线\(y=ax^{2}+bc+4\)交\(y\)轴于点\(A\)，交过点\(A\)且平行于\(x\)轴的直线于另一点\(B\)，交\(x\)轴于\(C\)，\(D\)两点\((\)点\(C\)在点\(D\)右边\()\)，对称轴为直线\(x=\dfrac{5}{2}\)，连接\(AC\)，\(AD\)，\(BC.\)若点\(B\)关于直线\(AC\)的对称点恰好落在线段\(OC\)上，下列结论中错误的是\((\quad)\)

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$在边$AB$上,点$E$、点$F$在边$AC$上,且$DE$ ∥ $BC$,$\frac{AF}{FE}=\frac{AE}{EC}$. $(1)$求证:$DF$ ∥ $BE$； $(2)$如果$AF=4$,$EF=6$,$AB=5\sqrt{10}$,求$\frac{DE}{BE}$的值.

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如图,在四边形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$E$,且$\angle CAB=\angle CBD$,已知$AB=4$,$AC=6$,$BC=5$,则$BE$的长为______.

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC=a$,在$\triangle ABC$中截出一个正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,使点$A_{1}$,$D_{1}$分别在$AC$,$BC$边上,边$B_{1}C_{1}$在$AB$边上；在$\triangle BC_{1}D_{1}$在截出第二个正方形$A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}$,使点$A_{2}$,$D

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如图,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$AD=8$,截去矩形$ABFE$,若剩下的矩形$DEFC$与矩形$ABCD$相似,则$DE$等于（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$分别是边$AC$,$AB$上的点,连结$DE$,$BD$,且$DE$ ∥ $BC.$若$AE:BE=1:2$,$\triangle ADE$的面积为$3$,则$\triangle BDC$的面积为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD$是$AB$边上的高.如果$BD=4$,$CD=6$,那么$BC:AC$是（ ）

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