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在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过点$A\left(-3,0\right)$,$B\left(0,3\right)$. $(1)$求此抛物线的解析式； $(2)$在坐标系中画出这条抛物线（不用列表）； $(3)$过点$P\left(n,0\right)$作$x$轴的垂线,分别交抛物线于点$M$,交直线$AB$于点$N$,记点$M$的纵坐标为$y_{M}$,点$N$的纵坐标为$y_{N}$,若$y_{M

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如图,已知在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过$A\left(-1,4\right)$、$B\left(3,-4\right)$两点,且与$y$轴的交点为点$C$. $(1)$求此抛物线的表达式及对称轴； $(2)$求$\cot \angle OBC$的值； $(3)$在抛物线上是否存在点$P$,使得$\triangle PBC$是以$BC$为直角边的直角三角形?如果存在,求出所有符合条件的点$P$坐标；

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将抛物线向上平移$3$个单位,再向左平移$2$个单位,得到的新抛物线的解析式为$y=3x^{2}$,则平移前的抛物线解析式为（ ）

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在平面直角坐标系中,将抛物线$y=x^{2}-2mx+2m^{2}+3\left(m \gt 0\right)$沿$y$轴向下平移$2$个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）

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解方程:$x^{2}+6x+5=0$.

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如图在$ O$中,弦$AB=8$,$OC\bot AB$,垂足为$C$,且$OC=3$,则$ O$的半径（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B=50^{\circ}$,将$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转得到$\triangle AB\’{C\’}$.若点${B\’}$恰好落在$BC$边上,则$\angle CAC\’$的度数为______.

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如果将抛物线$y=x^{2}+2$向下平移$1$个单位,那么所得新抛物线的表达式是（ ）

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抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的函数图象如图所示,写出$y \lt 0$时$x$的取值范围______.

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如表记录了二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$中两个变量$x$与$y$的三组对应值: $x$ $\ldots $ $-2$ $2$ $8$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $n$ $1$ $n$ $\ldots $ 点$P(x_{1}$,$y_{1})$,$Q(x_{2}$,$y_{2})$在该函数图象上.若当$2 \lt x_{1} \lt x_{2}$时,$y_{1} \lt

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李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人,被后人誉为"诗仙".《行路难$\cdot $其一》是李白不受重用,求仕无望后满怀愤慨所作的名篇.王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为$A$,$B$,$C$,$D$的$4$张卡片上,如图所示,卡片除编号和内容外,其余完全相同,将这$4$张卡片背面朝上,洗匀放好,玩抽诗句的游戏. $(1)$王铭从中抽取一张卡片,恰好抽到"长风破浪会有时"的概率为______； $(2)$李虹先抽一张卡片,接着王铭从剩下的卡

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解方程:$x^{2}-6x-5=0$.

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下列各数中,不能被$5^{12}-5^{10}$整除的是（ ）

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已知点$M$为二次函数$y=-\left(x-b\right)^{2}+4b+1$图象的顶点,直线$y=ax+5$分别交$x$轴正半轴,$y$轴于点$A$、$B$. $(1)$求抛物线的顶点$M$的坐标（用含有$b$的式子表示）； $(2)$如图$1$,若二次函数图象也经过点$A$、$B$,试求出该二次函数解析式,并求出$a$的值； $(3)$如图$2$,点$A$坐标为$\left(5,0\right)$,若点$M$在$\triangl

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如图,二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的图象与$x$轴交于点$A$,$B$且$A$的横坐标在$-1 $和$0$之间,与$y$轴交于负半轴,对称轴为直线$x=1$,对于该二次函数,下列结论正确的是（ ） ​

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如图,是某公园一圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管$OA=1.25m$,$A$处是喷头,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,水落地后形成一个圆,圆心为$O$,直径为线段$CB$.建立如图所示的平面直角坐标系,若水流路线达到最高处时,到$x$轴的距离为$2.25m$,到$y$轴的距离为$1m$,则水落地后形成的圆的直径$CB=$____$m$.

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如图,在直角坐标系中,直线$AC$的解析式为$y=2x-\frac{5}{2}$,与$y$轴交于点$C$,点$A\left(2,m\right)$在直线$AC$上,过点$A$的直线交$y$轴于点$B\left(0,3\right)$. $(1)$求$m$的值和直线$AB$的函数表达式； $(2)$求$\triangle ABC$的面积； $(3)$若点$P(t$,$y_{1})$在线段$AB$上,点$Q(t-1$,$y_{2})$在直线

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嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆,如图是该展览馆出入口示意图.嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观. $(1)$参观结束后,嘉嘉从$C$出口走出的概率是______. $(2)$参观结束后,通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率.

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如图所示,已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象与$x$轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,对称轴为直线$x=1$.直线$y=-x+c$与抛物线$y=ax^{2}+bx+c$交于$C$、$D$两点,$D$点在$x$轴下方且横坐标小于$3$,则下列结论: ①$2a+b+c \gt 0$； ②$a-b+c \lt 0$； ③$x\left(ax+b\right)\leqslant a+b$； ④$a \lt -1$.

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已知二次函数$y=x^{2}-4x+k$的图象的顶点在$x$轴下方,则实数$k$的取值范围是______.

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