先看题，再决定怎么练

如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$的中点,两边$PE$,$PF$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$,连接$EF$交$AP$于点$G$,给出以下五个结论: ①$\angle B=\angle C=45^{\circ}$； ②$AE=CF$, ③$AP=EF$, ④$\triangle EPF$是等腰直角三角形,

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$[$问题情境$]$ $(1)$课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图$1$,$E$是$BC$的中点,$\angle BAE=\angle CDE$,$D$,$A$,$E$三点共线.求证:$AB=CD$. 小玉在组内经过合作交流,得到解决方法:延长$AE$至点$F$,使得$AE=EF$,连结$CF$.请根据小玉的方法思考:由已知和作图能得到$\triangle ABE$ ≌ $\triangle FCE$,依据是______. 由

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如图,在$\triangle ABC$中,分别以顶点$A$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$长为半径面弧（弧所在圆的半径均相等),两弧相交于点$M$,$N$,连接$MN$,分别与边$AB$,$BC$相交于点$D$,$E$.若$AC=5$,$\triangle AEC$的周长为$17$,则$BC$的长为（ ）

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如图,已知$\angle ABC=60^{\circ}$,点$P$在边$AB$上,$BP=a$,点$E$、$F$在边$BC$上,$PE=PF$,若$FE=b$,则$BE$的长用$a$、$b$可表示为（ ）

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高为$3$,底边长为$8$的等腰三角形腰长为（ ）

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【自主探究】 $(1)$用不同的方法计算图$1$中阴影部分的面积,得到等式:______； $(2)$图$2$是由两个边长分别为$a$、$b$、$c$的直角三角形和一个两条直角边都是$c$的直角三角形拼成,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么?说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论,解决以下问题: $(3)$如图$3$,五边形$ABCDE$中,$AC\bot BD$,垂足为$N$,$AC=BD=2$,$CN=a$,

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尺规作图:如图,已知点$M$在射线$ON$上,$\alpha $,$\beta $.求作点$K$,使$\angle KOM=\alpha $,$\angle KMO=\beta .(要求:不写作法,保留作图痕迹)$

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定义:我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的"中高偏度值".如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=8$,$BC=6$,则$\triangle ABC$中$AB$边的"中高偏度值"为（ ）

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如图,圆柱形杯子容器高为$5cm$,底面周长为$6cm$,此时一只蚂蚁正好在杯子外壁点$A$处,蚂蚁需绕行杯子两周到达点$A$的正上方点$B$处,则爬行的最短路径为______$cm.$

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如图,在$\triangle ABC$中,边$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$M$,$D$,边$AC$的垂直平分线分别交$AC$,$BC$于点$N$,$E$,$MD$,$NE$的延长线交于点$O$. $(1)$若$BC=12$,求$\triangle ADE$的周长； $(2)$试判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上,并说明理由.

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如图,已知$\triangle ABC$,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$的中点,两边$PE$,$PF$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$,下列结论正确的有（ ）

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定义:一个内角等于另一个内角两倍的三角形,叫做"华益三角形". $(1)$下列三角形一定是"华益三角形"的有______. ①顶角是$30^{\circ}$的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是$30^{\circ}$的直角三角形. $(2)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC\geqslant 90^{\circ}$,沿$\triangle ABC$作边$AB$所在的直线对

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如图,在三角形$ABC$中,过点$B$,$A$作$BD\bot AC$,$AE\bot BC$,$BD$,$AE$交于点$F$,若$\angle BAC=45^{\circ}$,$AD=5$,$CD=2$,则线段$BF$的长度为（ ）

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已知$a$,$b$,$c$是$\triangle ABC$的三边长. $(1)$画出$\triangle ABC$的边$BC$上的高； $(2)$尺规作图:画出$\angle B$的平分线,保留作图痕迹； $(3)$化简:$|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a+b|$.

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如果一个三角形的三边长分别为$5$,$8$,$a$,那么$a$的值不可能是（ ）

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综合与实践: 无需语言的证明又称无字证明$(proofwithoutwords$,简称$PWW)$,本质上是一种数学语言,形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形,可能包含数学符号、记号、方程,但不附带文字.它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.事实上,无字证明并非新概念,它拥有丰厚的历史,可追溯到古希腊与古代中国时期,如图$1$就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形的截、割、拼、补方法创制的一副"无字证明"图形,后人称它为"勾股弦图

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阅读下列材料,并解答相应问题:已知$\triangle ABC$的面积为$60$,$AB$、$AC$边上的中线$CD$、$BE$相交于点$O$,如图$1$所示. $(1)$求四边形$ADOE$的面积. 小强用了如下的方法:连接$AO$,设$S_{\triangle BDO}=x$,$S_{\triangle CEO}=y$,则$S_{\triangle ADO}=x$,$S_{\triangle AEO}=y$,由题意得$S_{\tri

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已知$AD$是$\triangle ABC$的中线,$DH\bot AB$于点$H$,$DG\bot AC$于点$G$,$AB=7cm$,$AC=6cm$,$DH=3cm$,则$DG$的长是______.

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如图所示,点$H$是$\triangle ABC$内一点,要使点$H$到$AB$、$AC$的距离相等,且$S_{\triangle ABH}=S_{\triangle BCH}$,点$H$是（ ）

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已知在$\triangle ABC$中,$AB=17$,$AC=10$,$BC$边上的高$AD=8$,则边$BC$的长为（ ）

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