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如图,在$\triangle ABC$中,点$M$,$N$分别是$AB$和$AC$上的点$,MN$ ∥ $BC$,且$BC=2MN$,点$E$是$CN$的中点,连接$ME$并延长交$BC$的延长线于点$D$.若$CD=4$,求$BC$的长. ​

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD\bot BC$于$D$,$CE$分别交$AB$、$AD$于$E$、$F$两点,且$BD=FD$,$AB=CF$.求证:$CE\bot AB$.

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【问题提出】 $(1)$已知,如图$1$所示,$AD\bot DE$于点$D$,$BE\bot DE$于点$E$,点$C$在线段$DE$上,$AC=BC$,且$AC\bot BC$. 求证:①$\triangle ADC$ ≌ $\triangle CEB.$ ②$BE=DE-AD$. 【问题解决】 $(2)$如图$2$所示,点$D$,$C$,$E$在直线$l$上,点$A$,$B$在$l$的同侧,$AC\bot BC$,若$AD=AC=

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如图,$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等边三角形,点$B$在$ED$的延长线上,点$D$在$BE$上. $(1)$求证:$\angle ABD=\angle ACE$. $(2)$求$\angle BEC$的度数.

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【课题学习】 三角形是平面几何最基本的图形之一,构造全等三角形是几何学中的重要问题.一些较复杂的问题,只要依据条件构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了. 【初步感知】 $(1)$如图$1$,在$\triangle ABD$中,$BA=AD$,点$C$在边$BD$上,$AC=BC$,若在$AC$上取一点$E$,使得$AE=CD$.写出图中一对全等的三角形是______； 【深入探究】 $(2)$如图$

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下列几种说法:①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合.其中正确的是（ ）

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小刚在解关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)$时,只抄对了$a=1$,$b=3$,解出其中一个根是$x=-1$.他核对时发现所抄的$c$比原方程的$c$值小$2$.则原方程的根的情况是（ ）

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如图,$AD$是$\triangle ABC$的高,$BE$是$\triangle ABC$的角平分线,$\angle BAD=40^{\circ}$,$\angle BEC=80^{\circ}$,则$\angle DAC= \_\_\_\_\_\_.$

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如图,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AD\bot CE$,$BE\bot CE$,垂足分别是点$D$,$E$,若$AD=3$,$BE=1$,则$DE$的长是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$\angle CAB=\angle EAF$,$BE$交$FC$于$O$点,$BE$与$CA$相交于$Q$点. $(1)$如图$1$,求证:$BE=CF$； $(2)$在（1）的条件下,当$\angle CAB=90^{\circ}$时,求证:$BE\bot CF$； $(3)$如图$2$,当$\angle CAB=60^{\ci

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如图,$B$、$C$、$E$三点在同一条直线上,$CD$平分$\angle ACE$,$DB=DA$,$DM\bot BE$于$M$,若$AC=4$,$BC=\frac{1}{2}$,则$CM$的长为______.

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学习了三角形全等的判定与性质后,我们得到角平分线的性质定理及其逆定理. 【理解定理】 如图$1$,已知$AD$平分$\angle CAB$,$DC\bot AC$于$C$,$DB\bot AB$于$B$,若$CD=1$,则$DB= $______； 【问题解决】 如图$2$,点$B$,$D$,$C$分别是$AF$,$AG$和$AE$上的一点,且满足$BD=CD$,$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$.

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如图,$CB\bot AD$,$AE\bot CD$,垂足分别为$B$,$E$,$AE$、$BC$相交于点$F$,若$AB=BC=16$,$CF=8$,连接$DF$,则图中阴影部分面积为______.

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle ABC$、$\angle EAC$的角平分线$BP$、$AP$交于点$P$,延长$BA$、$BC$,$PM\bot BE$,$PN\bot BF$,则下列结论中正确的是（ ） ①$CP$平分$\angle ACF$； ②$\angle ABC+2\angle APC=180^{\circ}$； ③$\angle ACB=2\angle APB$； ④$S_{\triangle PA

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下列命题: ①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ②斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ③斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等. 其中正确命题的个数为（ ）

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已知在$\triangle ABC$中,$AD$平分$\angle BAC$,$D$为$BC$中点.求证:$\triangle ABC$是等腰三角形.

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如图,$\triangle ABC$中,点$D$在$BC$边上,$\angle BAD=110^{\circ}$,$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过$E$作$EF\bot AB$,垂足为$F$,且$\angle AEF=55^{\circ}$,连结$DE$,则下列结论:①$DE$平分$\angle ADC$；②$\angle ABD+2\angle AED=180^{\circ}$；③$\angle ADB=2\a

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如图,已知$AB=AC$,$BE=CE$,下面四个结论:①$BP=CP$；②$AD\bot BC$；③$AE$平分$\angle BAC$；④$\angle PBC=\angle PCB$.其中正确的结论个数有（ ）个.

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如图,已知$\triangle ABC$与$\triangle BDE$全等,其中点$D$在边$AB$上$,DE=AB,DE$ ∥ $AC,AC=10,AD=3,$则$DE$的长是（ ）

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如图,$AB=AC$,点$D$、$E$分别在$AC$、$AB$上,且$AE=AD$,连接$EC$,$BD$,$EC$交$BD$于点$M$,连接$AM$,过点$A$分别作$AF\bot CE$,$AG\bot BD$,垂足分别为$F$、$G$,则下列结论错误的是（ ）

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