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在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,点$D$为$\triangle ABC$内一点,连接$BD$,$CD$,延长$DC$到点$E$,使得$CE=CD$. $(1)$如图$1$,延长$BC$到点$F$,使得$CF=BC$,连接$AF$,$EF$.求证:$BD$ ∥ $EF$； $(2)$如图$2$,连接$AE$,$BD$的延长线交$AE$于点$H$,若$AB^{2}=AE^{2}+BD^{2

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历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形,其中点$E$是边$AB$上的点. $(1)$请用$a$,$b$,$c$分别表示$\triangle DAE$,$\triangle DEC$,$\triangle ECB$的面积； $(2)$请你利用等面积法验证勾股定理.

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如图,一架$2.5$米长的梯子$AB$斜靠在竖直的墙$AC$上,这时$B$到墙底端$C$的距离为$0.7$米.当梯子的顶端沿墙面下滑______米后,梯子处于$A_{1}B_{1}$位置,恰与原位置$AB$关于墙角$\angle ACB$的角平分线所在的直线轴对称.

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已知:如图在$\triangle ABC$,$\triangle ADE$中,$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$,$AB=AC$,$AD=AE$,点$C$,$D$,$E$三点在同一条直线上,连接$BD$,$BE$.以下四个结论: ①$BD=CE$； ②$BD\bot CE$； ③$\angle ACE+\angle DBC=45^{\circ}$； ④$BE^{2}=2(AD^{2}+AB^{2})$,

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如图,有一辆环卫车沿公路$AB$由点$A$向点$B$行驶,已知点$C$为一所学校,且点$C$与直线$AB$上两点$A$,$B$的距离分别为$200m$和$150m$,$AB=250m$,环卫车周围$130m$以内为受噪声影响区域. $(1)$学校$C$会受噪声影响吗?为什么? $(2)$若环卫车噪声影响该学校持续的时间有$2\min $,求环卫车的行驶速度为多少?

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下列几组数中,一定是勾股数的是（ ）

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下列各组数中,是勾股数的一组是（ ）

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下列各组数据中是勾股数（ ）

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若x 2 +mx+n=（x+3）（x-2）,则（ ）

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下列几组数中,能构成直角三角形三边长的是（ ）

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下列各组数中,不是"勾股数"的是（ ）

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我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出,将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即"勾三、股四、弦五".它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ）

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下面四组数中是勾股数的一组是（ ）

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下列各组数据不是勾股数的是（ ）

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如图,已知$AB=AD$,$AC=AE$,要使$\triangle ABC$ ≌ $\triangle ADE,$则可以添加下列哪一个条件（ ）

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已知:如图,在$\triangle ABC$中$,\angle 1=\angle 2,DE$ ∥ $AC$,求证:$\triangle ADE$是等腰三角形.

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$\angle MAB$为锐角,$AB=a$,点$C$在射线$AM$上,点$B$到射线$AM$的距离为$d$,$BC=x$,若$\triangle ABC$的形状、大小是唯一确定的,则$x$的取值范围是（ ）

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如图,已知$AB=AC$,$AF=AE$,$\angle EAF=\angle BAC$,点$C$、$D$、$E$、$F$共线.则 下列结论,其中正确的是（ ） ①$\triangle AFB$ ≌ $\triangle AEC$； ②$BF=CE$； ③$\angle BFC=\angle EAF$； ④$AB=BC$.

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已知$CD$是经过$\angle BCA$顶点$C$的一条直线,$CA=CB$,$E$,$F$是直线$CD$上的两点,且$\angle BEC=\angle CFA=\alpha $. $(1)$观察猜想:如图①.当直线$CD$经过$\angle BCA$的内部,且$E$,$F$在射线$CD$上时,若$\angle BCA=\alpha =90^{\circ}$,则$BE \_\_\_\_\_\_CF,EF \_\_\_\_\_\_BE

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如图,$\triangle ABC$中,$AD$是角平分线,$E$、$F$分别为$AC$、$AB$上的点,且$\angle AED+\angle AFD=180^{\circ}$.试问:$DE$与$DF$有何关系,并说明理由.

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