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三角形的三边长分别为$3$,$4$,$5$,则这个三角形的面积是______.

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若关于$x$的一次函数$y=\left(2-k\right)x+3$的图象不经过第三象限,且关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1≥\frac{x+9}{3}\\ 2x＞k+1\end{array}\right.$的解集为$x\geqslant 3$,则符合条件的所有整数$k$的值之积是______.

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下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）

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【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么我们就把这样的三角形叫做"智慧三角形". 【概念理解】 $(1)$下列三个三角形,是智慧三角形的是______$(填序号)$； 【灵活应用】 $(2)$如图$1$,已知线段$AB$和直线$l$,用无刻度的直尺和圆规在$l$上找出所有满足条件的点$P$,使得$\triangle ABP$为"智慧三角形"（不写作法,保留作图痕迹）； 【深入探究】 $(3)$如图$2$,等边三角

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如图是我国古代著名的"赵爽弦图"的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,$AC=3$,$BC=2$,将四个直角三角形中边长为$3$的直角边分别向外延长一倍,得到图$2$所示的"数学风车",则这个风车的外围周长（图中实线部分）是______.

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如图$1$是三国时期的数学家赵爽创制的一幅"勾股圆方图".将图$2$的矩形分割成四个全等三角形和一个正方形,恰好能拼成这样一个"勾股圆方图",则该矩形与拼成的正方形的周长之比为______.

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如图,"赵爽弦图"由$4$个完全一样的直角三角形所围成,在$Rt\triangle ABC$中,$AC=b$,$BC=a$,$\angle ACB=90^{\circ}$,若图中大正方形的面积为$60$,小正方形的面积为$10$,则$\left(a+b\right)^{2}$的值为______.

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在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+a^{2}$与$y=a^{2}x+a$的图象可能是（ ）

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若关于$x$的分式方程$\frac{x+1}{x}=2$,则该方程的解$x$的值为______.

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一次函数$y=2x-3$的图象不经过（ ）

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如图,已知直线$l_{1}$:$y_{1}=kx+b$与坐标轴交于$A\left(0,1\right)$,$C(-\frac{1}{2},0)$两点,直线$l_{2}$:$y_{2}=-x-2$与坐标轴交于$B$、$D$两点,两直线的交点为$P$点. $(1)$求$l_{1}$的表达式. $(2)$求点$P$的坐标.

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已知一次函数$y=\left(1-m\right)x+m-2$,当$m$____时,$y$随$x$的增大而增大.

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小明同学根据函数的学习经验,对函数$y=|x-2|+|x+4|$进行了探究,下面是他的探究过程: $(1)$已知当$x=-4$时,$|x+4|=0$；当$x=2$时,$|x-2|=0$,化简: ①当$x \lt -4$时,$y=$______； ②当$-4\leqslant x\leqslant 2$时,$y=$______； ③当$x \gt 2$时,$y=\_\_\_\_\_\_.$ $(2)$在平面直角坐标系中画出$y=|x-2|

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小明根据学习一次函数的经验,对函数$y=|x+1|+k$的图象与性质进行了探究.小明的探究过程如下: 列表: $x$ $\ldots $ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $4$ $3$ $2$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $m$ $\ldots $ $(1)$求$m$和$k$的值； $(2)$以自变量$x$的值为横坐标,相应的函数

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枣庄某公交车每天的支出费用为$600$元,每天的乘车人数$x(人)$与每天利润（利润$=$票款收入$-$支出费用$)y($元）的变化关系,如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变): $x(人)$ $\ldots $ $200$ $250$ $300$ $350$ $400$ $\ldots $ $y(元)$ $\ldots $ $-200$ $-100$ $0$ $100$ $200$ $\ldots $ 根据表格中的数据,回答下列问题

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若关于$x$的不等式$\left(1-a\right)x \gt 3$的解集为$x \lt \dfrac{3}{1-a}$,则$a$的取值范围是（ ）

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如图,四边形$ABCD$中,$AB=BC$,$\angle ABC=90^{\circ}$,对角线$BD\bot CD$,若$BD=14$,则$\triangle ABD$的面积为______. ​

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一艘轮船以$3$海里$/$时的速度从港口$A$出发向北航行,另一艘轮船以$4$海里$/$时的速度同时从港口$A$出发向东航行,离开港口$1$小时,两船相距（ ）

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如图,在$4$个均由$16$个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这$4$个正方形网格中不是直角三角形的是（ ）

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如图,在$\triangle ABE$与$\triangle CBD$中,$AE\bot BD$于点$E$,$CD\bot BD$于点$D$,$AB=BC$,$BE=CD$.证明:$Rt\triangle ABE$ ≌ $Rt\triangle BCD.$

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