先看题，再决定怎么练

学习了等腰三角形的知识后,小南进行了拓展性研究.他发现:过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段,这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高.小南的解决思路是通过计算面积得出结论,请你根据他的想法与思路,完成以下作图与填空: $(1)$用无刻度的直尺和圆规,过点$C$作$AB$的垂线$CD$,垂足为点$D$,连接$AP.(只保留作图痕迹,不写作法)$ $(2)$已知:如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$PE\bot A

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如图,在等边$\triangle ABC$中,$AB=6$,点$O$在$AB$上,且$AO=4$,点$E$是边$BC$上一动点,$OE=OD$,且$\angle DOE=60^{\circ}$.有下面三个结论:①$\triangle ODE$为等边三角形；②点$D$到直线$AB$的距离不变；③当$BE=1$时,$CD$最小.所有正确结论的序号为（ ）

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如图,已知$\triangle ABC$. $(1)$在图中用直尺和圆规作出$\angle B$的平分线和$BC$边的垂直平分线,并交于点$O(保留作图痕迹,不写作法)$. $(2)$在（1）的条件下,若点$D$,$E$分别是边$BC$和$AB$上的点,且$CD=BE$,连接$OD$,$OE$,试说明$OD=OE$.

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一个等腰三角形的周长为$18$,已知一边长为$5$,则其他两边长为______.

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若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形底角的度数为____$^{\circ}$.

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"三等分角"是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一.如图所示的"三等分角仪"是利用阿基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒$OA$,$OB$组成,两根棒在$O$点相连并可绕$O$转动,$C$点固定,$OC=CD=DE$,点$D$,$E$可在槽中滑动.若$\angle BDE=72^{\circ}$,则$\angle CDE=\_\_\_\_\_\_^{\circ}.$

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定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值$k$称为这个等腰三角形的特征值.若等腰$\triangle ABC$中,$\angle A=80^{\circ}$,则等腰$\triangle ABC$的特征值$k=$____.(多选） $A$.$\frac{8}{5}$ $B$.$\frac{5}{8}$ $C$.$\frac{1}{4}$ $D.4$

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如图所示,已知$\angle AOB=60^{\circ}$,点$P$在边$OA$上,$OP=8$,点$M$,$N$在边$OB$上,$PM=PN$,若$MN=1$,则$OM$的长为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\triangle ADC$和$\triangle ABE$分别是以$AC$,$AB$为腰的等腰直角三角形,$BE$与$CD$相交于点$F$. $(1)$求证$\angle FBC=\angle FCB$； $(2)$连接$AF$,求证$AF\bot BC$.

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如图:在$\triangle ABC$中,$AB$的垂直平分线$EF$交$BC$于点$E$,交$AB$于点$F$,$D$为线段$CE$的中点,$BE=AC$. $(1)$求证:$AD\bot BC$； $(2)$若$\angle B=25^{\circ}$,求$\angle C$的度数.

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若等腰三角形的两边长分别为$4$和$6$,则其周长是______.

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已知$a$、$b$、$c$是等腰$\triangle ABC$的三条边,其中$b=2$,如果$a$、$c$是关于$y$的一元二次方程$y^{2}-6y+n=0$的两个根,则$n$的值是______.

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已知:如图$,AF$ ∥ $BC,\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle BAC=30^{\circ}$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$,且$CE=\frac{1}{2}AF$,连接$FE$交$AD$于点$G$. $(1)$若$AC=6$,求线段$AF$的长； $(2)$作$\angle FAE$的平分线交$FE$于点$M$,交线段$ED$的延长线于点$N$,若$MN=a$,$GE=

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如图,等腰$\triangle ABC$的底边$BC=4$,面积为$18$,直线$EG$是腰$AC$的垂直平分线,若点$D$在$EG$上运动,点$F$在边$BC$上运动,则$DF+DC$的最小值为______.

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如图,则$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E$的度数是____.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle B=30^{\circ}$,$AB$的垂直平分线$ED$交$AB$于点$E$,交$BC$于点$D$,若$CD=3$,则$BD$的长为____.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=13$,$BC=10$,$BE\bot AC$于点$E$,点$D$是$BC$边的中点,$AD=12$. $(1)$求$AC$的长； $(2)$求$BE$的长.

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如图,在$\vartriangleABC$中,点$D$在$BC$边上,$\angle BAD=110^{\circ}$,$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF\bot AB$,垂足为$F$,且$\angle AEF=55^{\circ}$,连接$DE$. $(1)$求$\angle CAD$的度数； $(2)$求证:$DE$平分$\angle ADC$； $(3)$若$AB=8$,$AD=4$,$CD=

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如图,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$于$D$点,$DE\bot AB$于点$E$,$BF\bot AC$于点$F$,$DE=3cm$,则$BF=$____$cm$.

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写出下面定理的已知、求证,并完成证明过程. 定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称:"等角对等边"). 已知:如图,在$\triangle ABC$中,______. 求证:______. 证明:

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