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如图,点$C$在线段$BD$上$,AB$ ∥ $DE$,$AB=CD$,$BC=DE$. $(1)$尺规作图:作$\angle ACE$的角平分线交$AE$于点$F.(不写作法,保留作图痕迹)$ $(2)$在（1）所作的图形中,求证$AF=EF$.请完成下面的证明过程: 证明:$\because AB$ ∥ $DE$, $\therefore $①______, 在$\triangle ABC$和$\triangle DCE$中, $\

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定义:如果两个一元一次方程的解的和为$1$,我们就称这两个方程为"集团方程",例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为"集团方程". $(1)$若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-1=x+8$是"集团方程",求$m$的值； $(2)$若"集团方程"的两个解的差为$6$,其中一个较大的解为$n$,求$n$的值.

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若$x=1$是方程$3x+a=2$的解,则$a$的值是______.

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若$x=1$是方程$mx=3-x$的解,则$m$的值为______.

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如图,$OC$平分$\angle AOB$,将射线$OB$沿着$OA$方向平移,得到射线$DF$,交$OC$于点$N$,点$F$在点$N$的右侧. $(1)$若$\angle AOB=60^{\circ}$,求$\angle CNF$的度数. $(2)$点$M$是射线$OA$上一点（不与点$D$,点$O$重合).连接$MN$. ①若点$M$在射线$DA$上,延长$MN$交$OB$于点$E$,且$\angle MEB-2\angle CN

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若关于$x$的方程$2x+a-4=0$的解是$x=-2$,则$a=$____.

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定义:若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解满足$x=2b-a$,则称该方程为"倍差"方程.例如:方程$2x=\frac{4}{3}$的解是$x=\frac{2}{3}$,且满足$\frac{2}{3}=2×\frac{4}{3}-2$,所以方程$2x=\frac{4}{3}$是"倍差"方程.若关于$x$的一元一次方程$-3x=3m+n$是"倍差"方程,则该方程的解为____.

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解方程. $(1)0.2:0.1=x:8$； $(2)1.5x-x=120$； $(3)x+50\%x=22.5$.

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已知$x=3$是方程$3ax-6a=-\frac{x}{3}-2$的解,则$ a=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,点$E$是$BC$延长线上一点,连接$AE$.延长$CB$至点$D$,使$BD=CE$,连接$AD$.过点$B$作$CD$的垂线,过点$C$作$AD$的垂线交$AD$于点$F$,两条垂线相交于点$H$.连接$AH$,$DH$.下列结论,其中正确的有（ ）

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补全证明过程:如图,点$A$、$F$、$C$、$D$在同一条直线上,已知$AF=DC$,$AB=DE$,$BC=EF$,求证:$BC$ ∥ $EF.$ 证明:$\because AF=DC(已知)$, $\therefore AF+CF=DC+CF( $______), 即$AC=DF$. 在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中,$\left\{\begin{array}{l}{()(已知)}\\{()(已知

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如果两个方程的解相差$1$,则称解较大的方程为另一个方程的"后移方程".例如:方程$x-2=0$是方程$x-1=0$的后移方程. $(1)$判断方程$2x+1=0$是否为方程$2x+3=0$的后移方程______$.(填"是"或"否")$ $(2)$若关于$x$的方程$3x+m+n=0$是关于$x$的方程$3x+m=0$的后移方程,$n$的值为______.

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已知关于$x$的方程$kx-x=7$的解为正整数,则整数$k$的值为______.

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已知\(\begin{cases} x=4 \\ y=a \end{cases}\)是二元一次方程\(2x-y=6\)的一组解，那么\(a=\)__________．

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已知\(\begin{cases} & x=1, \\ & y=2 \end{cases}\)是方程\(kx-3y=6\)的解，则\(k=\)________．

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如图,在直角$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$D$是$BC$中点,连接$AD$,点$E$为$AD$的中点,过点$A$作$AF$ ∥ $BC$交线段$BE$的延长线于点$F$,连接$CF$. $(1)$求证:$AF=DC$； $(2)$在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出与$\triangle ACD$面积相等的三角形（不包含$\triangle ACD)$.

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已知$x=-1$是方程$ax+4x=2$的解,则$a$的值是______.

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\((1)\)如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上\(.\)这样做的依据是：_________________ \((2)\)一列方程如下排列：\( \dfrac{x}{4}+ \dfrac{x-1}{2}=1\)的解是\(x=2\)，\( \dfrac{x}{6}+ \dfrac{x-2}{2}=1\)的解是\(x=3\)，\( \dfrac{x}{8}+ \dfrac{x-3}{2}

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已知,如图,直线$AB$ ∥ $CD$,$CE$平分$\angle ACD$交$AB$于点$E$,画$EF\bot AB$于$E$,交$CD$于$F$. $(1)$直接写出直线$CD$与$EF$的位置关系； $(2)$若$\angle A=130^{\circ}$,求$\angle CEF$的度数.

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若$2x^{n-2}-1=3$是关于$x$的一元一次方程,则$n$的值为____.

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