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如图$1$,在矩形$ABCD$中,$AB=8$,$AD=4$,点$E$是$DC$边上的任一点（不包括端点$D,C)$,过点$A$作$AF\bot AE$交$CB$的延长线于点$F$,设$DE=a$. ​ $(1)$求$BF$的长（用含$a$的代数式表示）； $(2)$如图$2$,连接$EF$交$AB$于点$G$,连接$GC$,当$GC$ ∥ $AE$时,求$AE$的值.

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解方程:$x^{2}-2x-3=0$.

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1=0$有$x_{1}$,$x_{2}$两不相等的实数根. $(1)$求$m$的取值范围； $(2)$是否存在实数$m$,满足$x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=m^{2}-31$?若存在,求出实数$m$的值；若不存在,请说明理由.

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解方程: $(1)\left(x-1\right)^{2}-1=0$； $(2)2x^{2}+3x+1=0$.

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对于实数$a$,$b$,定义运算"※"如下:$a$※$b=a^{2}-ab$,例如,$5$※$3=5^{2}-5\times 3=10$.若$\left(x+1\right)$※$\left(x-2\right)=6$,则$x$的值为____.

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公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的"赵爽弦图",它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形面积是$49$,直角三角形中较小锐角$\theta $的正切为$\frac{5}{12}$,那么大正方形的面积是______.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,点$E$是$BC$的中点,以$AC$为直径的$\odot O$与$AB$边交于点$D$,连接$DE$. $(1)$判断直线$DE$与$\odot O$的位置关系,并说明理由； $(2)$若$CD=3$,$DE=\frac{5}{2}$,求$\odot O$的直径.

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如图,射线$AB$与$\odot O$相切于点$B$,经过圆心$O$的射线$AC$与$\odot O$相交于点$D$、$C$,连接$BC$,若$\angle A=42^{\circ}$,则$\angle ACB= \_\_\_\_\_\_^{\circ}.$

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如图,在$\odot O$中,$AB$为直径,弦$CD\bot AB$于点$E$,连接$AC$、$AD$. $(1)$如图$1$,求证:$\angle ACD=\angle ADC$； $(2)$如图$2$,连接$BC$,过点$O$作$OK\bot AD$于点$K$,求证:$BC=2OK$； $(3)$如图$3$,在（2）的条件下,点$F$在弧$AD$上,$\overset{⌢}{BD}=\overset{⌢}{DF}$,连接$AF$,

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如图$AB$是$\odot O$直径,过点$B$作射线交$\odot O$于点$D$,$BC$平分$\angle ABD$交$\odot O$于点$C.F$为射线$BA$上一点,连接$FC$并延长交射线$BD$于点$E$. $(1)$当$BE\bot FE$时,求证:$FE$为$\odot O$的切线； $(2)$在问题（1）的条件下,当$CF=4$,$AF=2$时,求$CE$的长.

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如图,正方形$ABCD$和$\odot O$的周长之和为$20cm$,设圆的半径为$x cm$,正方形的边长为$y cm$,阴影部分的面积为$S cm^{2}$.当$x$在一定范围内变化时,$y$和$S$都随$x$的变化而变化,则$y$与$x$,$S$与$x$满足的函数关系分别是（ ）

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如图,已知在四边形$ABCD$中,$\angle ADC=90^{\circ}$,$AB=AD$,点$E$、$F$分别在线段$CD$、$AD$上.如果$AE\bot BF$,$\frac{BF}{AE}=\frac{2}{3}$,那么$\cot \angle ABD= \_\_\_\_\_\_.$

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解方程:$x^{2}-4x-5=0$.

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将方程$x^{2}-6x+3=0$左边配成完全平方式,得到的方程是（ ）

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已知反比例函数$y=\frac{12}{x}$经过点$A\left(-6,a\right)$,$B\left(b,4\right)$. $(1)$求直线$AB$的解析式； $(2)$求$\triangle AOB$的面积； $(3)$求当$x$为何值时,反比例函数的值大于一次函数的值?

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如图,在平面直角坐标系中,平行四边形$OABC$的边$OC$落在$x$轴的正半轴上,且点$A\left(2,2\right)$,$C\left(4,0\right)$,直线$y=2x+1$以每秒$1$个单位长度的速度向右平移,经过______秒该直线可将平行四边形$OABC$的面积平分.

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点$\left(3,a\right)$在一次函数$y=2x-8$的图象上,则$a$的值为______.

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不等式$\sqrt{3}x-3≥0$的解集为______.

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如图,一艘军舰在$A$处测得小岛$P$位于南偏东$60^{\circ}$方向,向正东航行$40$海里后到达$B$处,此时测得小岛$P$位于南偏西$75^{\circ}$方向,则小岛$P$离观测点$A$的距离是（ ）

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如图所示,$BA$和$CD$表示前后两幢楼,按照有感规定两幢楼间的间距不得小于楼的高度,即图中$AC$大于等于$CD$,小明想测量一下他家所著$AB$楼与前面$CD$楼是否符合规定,于是他在$AC$间的点$M$处架了测角仪,测得$CD$楼顶$D$的仰角为$45^{\circ}$,已知$AM=4$米,测角仪距地面$MN=1.5$米. （1）问:两楼的间距是否符合规定?并说出你的理由； （2）为了知道前面$CD$楼的高度,小明又到家里（点$

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