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下列各组数据中,能构成直角三角形的三边边长的是（ ）

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二次函数$y=ax^{2}-2ax-3\left(a\neq 0\right)$的图象经过点$A$. $(1)$求二次函数的对称轴； $(2)$当$A\left(-1,0\right)$时, ①求此时二次函数的表达式； ②把$y=ax^{2}-2ax-3$化为$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$的形式,并写出顶点坐标.

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已知二次函数$y=ax^{2}(a\neq 0)$的图象经过点$\left(-2,3\right)$ $(1)$求$a$的值,并写出这个二次函数的解析式； $(2)$求出此抛物线上纵坐标为$3$的点的坐标.

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已知一个二次函数图象上部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如下表所示: $x$ $\ldots $ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $y$ $\ldots $ $5$ $0$ $-3$ $-4$ $-3$ $0$ $m$ $12$ $(1)$在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该图象的一条性质； $(2)m$的值为______； $(3)$求这个二次函数的解析式.

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已知一个二次函数图象上部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如表所示: $x$ $\ldots $ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $0$ $-3$ $-4$ $-3$ $0$ $\ldots $ $(1)$这个二次函数的解析式是______； $(2)$在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； $(3)$当$-3 \lt x\leqslant 3$时,$y$的取

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已知二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的图象经过点$\left(0,-1\right)$,且对称轴为直线$x=-2$. $(1)$求该二次函数的解析式: $(2)$画出该二次函数的图象； $x$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ $y$ $\ldots $ ______ ______ ______ ______ ______ $\ldots $ ​ $(3)

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已知一次函数$y=kx+b$的图象如图所示,则$y=-kx+b$与$y=\frac{b}{x}$的图象为（ ）

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二次函数$y=-x^{2}+1$的图象可能是（ ）

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如图,直角三角形$ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,点$E$为$AB$上一点,以$AE$为直径的$\odot O$上一点$D$在$BC$上,且$AD$平分$\angle BAC$. $(1)$证明:$BC$是$\odot O$的切线； $(2)$若$BD=4$,$BE=2$,求$AB$的长.

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数学活动课上,老师给出如下问题:如图①,正方形$ABCD$,连接$AC$,点$E$在边$AB$上,点$F$在边$BC$上,连接$EF$,过点$B$作$BG\bot EF$于点$G$,分别交线段$AC$,$DC$于点$M$,点$N$,且$BM=EF$. 各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题,请你写出解答过程: $(1)$"智慧小组"提出问题: 三条线段$BG$、$GF$、$GE$的长度间存在某种等量关系,请你直接写出这种关系； $(2

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在学习了等腰三角形的相关知识后,小丽同学进行了更深入的研究,她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等,可利用证三角形全等得此结论.根据她的想法与思路,完成以下作图与填空. $(1)$如图,在等腰$\triangle ABC$中,$BE$是$\angle ABC$的角平分线,用尺规作$\angle ACB$的角平分线分别交$BE$、$AB$于点$O$、$D(不写作法,保留作图痕迹)$. $(2)$已知$\

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已知二次函数的顶点为$\left(-2,2\right)$且过点$\left(-1,3\right)$,求该函数解析式.

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已知,如图,抛物线$y=-\frac{1}{4}x^{2}+bx+c$与$x$轴正半轴交于$A$、$B$两点,与$y$轴交于点$C$,直线$y=x-2$经过$A$、$C$两点. $(1)$直接写出抛物线的解析式； $(2)P$为抛物线上一点,若点$P$关于直线$AC$的对称点$Q$落在$y$轴上,求$P$点坐标； $(3)$现将抛物线平移,保持顶点在直线$y=x-\frac{11}{4}$,若平移后的抛物线与直线$y=x-2$交于$M$

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已知二次函数$y=x^{2}-7$,当$x \gt 0$时,$y$随$x$的增大而______.("增大"或"减小"）

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一元二次方程$x^{2}-2x=0$的解是____.

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如图,$\triangle ABC$与$\triangle DEF$在$5\times 7$的长方形网格中,它们的顶点都在边长为$1$的小正方形的顶点位置,试判断$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是否相似,并说明理由.

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抛物线$y=\left(x+2\right)^{2}+3$的对称轴是直线（ ）

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如图,一条抛物线与$x$轴相交于$M$、$N$两点（点$M$在点$N$的左侧),其顶点$P$在线段$AB$上移动.若点$A$、$B$的坐标分别为$\left(-2,3\right)$、$\left(1,3\right)$,点$N$的横坐标的最大值为$4$,则点$M$的横坐标的最小值为（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$分别是边$AB$,$AC$的中点.若$\triangle ADE$的面积为$\frac{1}{2}$,则四边形$DBCE$的面积为______.

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如图,$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上一点,已知$AB=4$,$AD=2.\angle DAC=\angle B$,若$\triangle ABD$的面积为$a$,则$\triangle ACD$的面积为（ ）

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