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如图,$\triangle ABC$的顶点$A$、$B$、$C$均在$ O$上,若$\angle ABC+\angle AOC=90^{\circ}$,则$\angle ABC$的大小是（ ）

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如图,四边形$ABCD$的顶点$A$,$B$,$C$在圆上,且边$CD$与该圆交于点$E$,$AC$,$BE$交于点$F$.下列角中,弧$AE$所对的圆周角是（ ）

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若$x=1$是关于$x$的方程$2x^{2}-ax+3=0$的一个解,则$a$的值为（ ）

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抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$经过点$A\left(4,0\right)$和点$B\left(0,2\right)$,且这个抛物线的对称轴为直线$l$,顶点为$C$. $(1)$求抛物线的解析式； $(2)$连接$AB$、$AC$、$BC$,求$\triangle ABC$的面积.

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如图,已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$图象经过点$A\left(1,-2\right)$和$B\left(0,-5\right)$. $(1)$求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标. $(2)$当$y\leqslant -2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围.

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阅读以下材料,完成课题研究任务: 【研究课题】设计公园喷水池 【素材$1$】某公园计划修建一个图$1$所示的喷水池,水池中心$O$处立着一个高为$2m$的实心石柱$OA$,水池周围安装一圈喷头,使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出,并在石柱顶点$A$处汇合.为使水流形状更漂亮,要求水流在距离石柱$0.5m$处能达到最大高度,且离池面的高度为$2.25m$. 【素材$2$】距离池面$1.25$米的位置,围绕石柱还修了一个小水池,要

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抛物线$y=x^{2}+2x-3$与$x$轴两个交点间的距离是（ ）

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先化简,再求值:$\frac{{a+4}}{{{a^2}-4}}÷({\frac{4}{{a+2}}-a-2})$,其中$a$满足$a^{2}-2a-1=0$.

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化简:$\frac{a-3}{2a-4}÷(\frac{5}{a-2}-a-2)$,并代入一个你喜欢的$a$值求值.

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如图,已知二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象与$x$轴交于点$A$、$B$,与$y$轴交于点$C$. $(1)$将$y=x^{2}-2x-3$化成$y=a\left(x-h\right)^{2}+h$的形式； $(2)$求点$A$、$B$、$C$的坐标； $(3)$观察图象直接写出不等式$x^{2}-2x-3 \gt 0$的解集.

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如图,抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)(x-t)(t＞0)$与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）,与$y$轴正半轴交于点$C$,已知抛物线的对称轴为直线$x=1$. $(1)$求抛物线的解析式； $(2)$在抛物线的对称轴上是否存在点$D$,使得$\triangle DBC$为等腰三角形?若存在,求出点$D$的坐标；若不存在,请说明理由.

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一座拱桥的示意图如图$2$所示,当水面宽为$16$米时,桥洞顶部离水面$4$米.已知桥洞的拱桥是抛物线,请尝试解决以下问题: $(1)$建立合适的平面直角坐标系,求该抛物线的表达式； $(2)$由于暴雨导致水位上涨了$2$米,求此时水面的宽度； $(3)$已知一艘货船的高为$2.6$米,宽为$3.2$米,其截面如图$3$所示.为保证这艘货船可以安全通过拱桥,水面在正常水位的基础上最多能上升多少米?(结果精确到$0.1)$

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若$m$是方程$x^{2}+3x-1=0$的解,则式子$m^{2}+3m+2024$的值为______.

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小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图（1）所示,输入$x$的值为$-2$时,输出$y$的值为$1$；输入$x$的值为$2$时,输出$y$的值为$3$；输入$x$的值为$3$时,输出$y$的值为$6$. $(1)$直接写出$k$,$a$,$b$的值. $(2)$小明在平面直角坐标系中画出了关于$x$的函数图象,如图（2）. $Ⅰ$.当$y$随$x$的增大而增大时,求$x$的取值范围. $Ⅱ$.若关于$x$的方

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若将二次函数$y=x^{2}-4x+3$的图象绕着点$\left(-1,0\right)$旋转$180^{\circ}$,得到新的二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,那么$c$的值为（ ）

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如图,观察图中的二次函数图象可得: $(1)$求该抛物线的解析式. $(2)$当$x $______时,$y$随$x$的增大而减小. $(3)$当$x $______时,$y$达到最______$(填"大"或"小")$值是______.

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已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\left(m-1\right)x+m-2=0$. $(1)$求证:该方程总有两个实数根； $(2)$若该方程两个实数根的差为$3$,求$m$的值.

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若关于\(x\)的一元一次不等式组\(\begin{cases}{x-2>\dfrac{3x-2}{2}}\\ {3x-a\leqslant 2}\end{cases}\)的解集为\(x< -2\)，且关于\(y\)的分式方程\(\dfrac{2y}{y+1}=\dfrac{a}{y+1}-1\)的解为负整数，则所有满足条件的整数\(a\)的值之和是\((\quad)\)

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如图,已知$\triangle ABC$中,$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,$\angle ADE=\angle C$,$AN$平分$\angle BAC$,交$DE$于$M$,若$S_{四边形BCED}=4S_{\triangle ADE}$,则$AM:AN=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,添加以下哪个条件,仍不能直接证明$\triangle ABC$与$\triangle ADE$相似（ ）

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