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如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$\angle A=60^{\circ}$,$BE\bot AC$于点$E$,延长线交$\odot O$于点$P$. $(1)$如图①,若$\triangle ABC$是等边三角形,求证:$OE=PE$； $(2)$如图②,当点$A$在直线$BC$上方运动时（包括点$B$、$C)$,作$CQ\bot AB$交$BE$于点$H$, ①求证:$HE=PE$； ②若$BC=3$,求

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如图,$AD$,$CD$为$\odot O$的两条弦,过点$C$的切线交$OA$延长线于点$B$,若$\angle D=29^{\circ}$,则$\angle B$的度数为（ ）

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紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品,图$2$是正确使用该工具时的示意图.如图$3$,$\odot O$为某紫砂壶的壶口,已知$A$、$B$两点在$\odot O$上,直线$l$过点$O$,且$l\bot AB$于点$D$,交$\odot O$于点$C$.若$AB=12$,$CD=2$,求这个紫砂壶的壶口半径.

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在直角坐标系中,设函数$y=\left(x-m\right)\left(x-n\right)(m$、$n$是实数). $(1)$当$m=1$时,若该函数的图象经过点$\left(2,6\right)$,求函数表达式. $(2)$若$n=m-1$,且当$x\leqslant -2$时,$y$随$x$的增大而减小,求$m$的取值范围. $(3)$若该函数图象经过$\left(0,a\right)$,$\left(3,b\right)$两点$

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解方程:$x^{2}-4x+3=0$.

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用适当的方法解方程: $(1)x^{2}+4x-4=0$； $(2)\left(x-1\right)^{2}=2\left(x-1\right)$.

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已知一元二次方程$x^{2}-8x+15=0$的两个解恰好分别是等腰$\triangle ABC$的底边长和腰长,则$\triangle ABC$的周长为（ ）

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解方程: $(1)x^{2}-4x=1$； $(2)\left(x+1\right)^{2}=3x+3$.

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如图,在直角坐标系中,$A\left(-1,0\right)$,$B\left(2,3\right)$,点$B$绕着点$A$顺时针旋转$30^{\circ}$得到${B\’}$. $(1)$求直线$AB$的表达式； $(2)$求直线$AB\’$的表达式； $(3)$若平面内有一点$C$,使$\triangle ABC$是以$AB$为腰的等腰三角形且与$\triangle ABB\’$相似,求点$C$的坐标.

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解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\7x-3y=20\end{array}\right.$.

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用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x+8=0$配方后得到的方程是（ ）

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把量角器和含\(30°\)角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度\(2\)处，短直角边过量角器外沿刻度\(120\)处\((\)即\(OC=2cm\)，\(∠BOF=120°).\)则阴影部分的面积为\((\quad)\)

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如图，\(AB\)为\(⊙O\)的直径，点\(C\)为\(⊙O\)上一点，\(BD⊥CE\)于点\(D\)，\(BC\)平分\(∠ABD.\) \((1)\)求证：直线\(CE\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(∠ABC=30°\)，\(⊙O\)的半径为\(2\)，求图中阴影部分的面积．

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如图,已知在平面直角坐标系中,$\odot O$的圆心坐标为$\left(0,0\right)$,点$A$、$B$、$C$在$\odot O$上,$\angle CAB=30^{\circ}$,且点$A$在$x$轴上. $(1)$如图$1$,当点$A$的坐标为$\left(-3,0\right)$时,则点$B$的坐标为______,点$C$的坐标为______； $(2)$如图$2$,当点$C$的坐标为$\left(2,2\right)

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根据下列条件,分别求出二次函数的解析式. $(1)$已知图象的顶点坐标为$\left(-1,-8\right)$,且过点$\left(0,-6\right)$； $(2)$已知图象经过点$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$、$C\left(0,3\right)$三个点.

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点$P\left(m,n\right)$在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2-3x$的图象上,小明在探究$n$取不同值,点$P$的存在性问题时,得到如下三个结论: ①当$n=10$时,点$P$的个数为$0$； ②当$n=4.5$时,点$P$的个数为$1$； ③当$n=4$时,点$P$的个数为$2$. 下列判断正确的是（ ）

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如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠D=20°,则∠1的大小是（ ）

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已知关于$x$的二次函数$y=ax^{2}-4ax\left(a \gt 0\right)$.若$P\left(m,n\right)$和$Q\left(5,b\right)$是抛物线上的两点,且$n \gt b$,则$m$的取值范围为（ ）

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$是$BA$延长线上一点,点$D$在$\odot O$上,且$CD=OE$,$CD$的延长线交$\odot O$于点$E$.若$\angle C=25^{\circ}$,则$\angle CEO$度数为______$^{\circ}.$

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抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.如图,$AC$,$BD$分别与$\odot O$相切于点$C$,$D$,延长$AC$,$BD$交于点$P$.若$\angle P=120^{\circ}$,$\odot O$的半径为$6cm$,则图中$\widehat {CD}$的长为____$cm.($结果保留$\pi )$

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