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已知菱形的周长为$C$,其一个内角（锐角）的正切值为$2$,设其面积为$S$,那么$S$关于$C$的函数关系式是______$.(不必写出定义域)$

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已知抛物线$y=kx^{2}-\left(2k-1\right)x+k-2\left(k\neq 0\right)$. $(1)$若抛物线的顶点在$y$轴上,求抛物线的解析式； $(2)$若抛物线的顶点在$x$轴上,求$k$的值.

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在平面直角坐标系中,点$A$的坐标为$\left(-5,4\right)$,以原点为位似中心,位似比为$1:2$,将线段$OA$缩小得到线段$OA\’$,若点${A\’}$恰好在某一反比例函数的图象上,则该反比例函数的解析式为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=135^{\circ}$,将$\triangle ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$\triangle DEC$,点$A$,$B$的对应点分别为$D$,$E$,连接$AD$.当点$A$,$D$,$E$在同一条直线上时,下列结论不正确的是（ ）

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如图,已知半圆$O$的直径$AB=9$,$C$是半圆上一点,沿$AC$折叠半圆得到$\widehat {AC}$,交直径$AB$于点$D$,若$D$在半径$OA$上,且为直径的三等分点,则$AC$的长是____.

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如图,$\triangle ABC$与$\triangle DEF$位似,点$O$为位似中心,且$\triangle DEF$的面积是$\triangle ABC$面积的$9$倍,则$OC:OF=\left(\ \ \right)$

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已知抛物线$y=x^{2}-6x-3$. $(1)$求该抛物线的对称轴； $(2)$当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而减小?

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已知$\odot O$的半径$OA=1$,弦$AB$的长为$\sqrt{2}$,若在$\odot O$上找一点$C$,则$\angle BCA=\_\_\_\_\_\_^{\circ}.$

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如图,在四边形$ABCD$中,对角线$AC\bot BD$,要使四边形$ABCD$各边中点连线构成的四边形$EFGH$是正方形,只需添加一个条件是______.

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已知,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=8$,点$E$是射线$CA$上的动点,点$O$是边$BC$上的动点,且$OC=OE$,射线$OE$交射线$BA$于点$D$. $(1)$如图,如果$OC=2$,求$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ODB}}$的值； $(2)$联结$AO$,如果$\triangle AEO$是以$AE$为腰的等腰三角形,求线段$OC$的长； $(3)$当点$E$在边$A

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如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD$的顶点$B$、$D$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,对角线$AC$与$BD$相交于坐标原点$O$,若点$A\left(-1,2\right)$,菱形的边长为$5$,则$k$的值是______.

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解方程： （1）x 2 -4x-5=0 （2）（x+3） 2 -2（x+3）=0

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如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD$相交于点$O$,过$A$作$AE$ ∥ $BD,$过$D$作$DE$ ∥ $AC$,$AE$与$DE$相交于点$E$.求证:四边形$AODE$为矩形.

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郑州二七纪念塔作为郑州的城市地标,坐落在距离郑州火车站不远的二七广场,共$14$层,为仿古联体双塔,是中国最年轻的全国重点文物保护单位.某数学活动小组欲测量其高度.如图,组员在点$B$处放置一个平面镜,站在$A$处恰好能从平面镜中看到塔的顶端$D$,分别测出:组员到平面镜距离$AB=2m$、平面镜到塔底部中心的距离$BC=84m$、组员眼睛到地面距离$AE=1.5m$,且$AE\bot AC$,$CD\bot AC$,点$A$、$B$、

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$M$是$AC$的中点$,AE$ ∥ $BC$,交$DM$的延长线于点$E$,连接$CE$.求证:四边形$ADCE$是矩形.

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为实现"绿水青山就是金山银山"的理念,重庆市建了多个湿地公园.如图,某区湿地公园有一个湖泊,沿湖修建了四边形$ABCD$人行步道,经测量,点$B$在点$A$的正东方向.点$D$在点$A$的正北方向,$AD=200$米.点$C$在点$B$的北偏东$45^{\circ}$,在点$D$的北偏东$60^{\circ}$方向,$CD=800$米. $(1)$求步道$BC$的长度（精确到个位）； $(2)$小王每天步行上学都要从点$A$到点$C$.

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当$x=$______时,代数式$4x^{2}+2x-1$的值与代数式$3x^{2}-2$的值相等.

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在\(\triangle ABC\)中，\(∠C=90°\)，\(\sin A=\dfrac{4}{5}\)，则\(\cos B\)的值为\((\quad)\)

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已知：关于x的一元二次方程x 2 -（m-1）x+m+2=0 （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若Rt△ABC中，∠C=90°，tanA的值恰为（1）中方程的根，求cosB的值．

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已知:如图,在▱$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,直线$EF$过点$O$,交$DA$于点$E$,交$BC$于点$F$. 求证:$OE=OF$,$AE=CF$,$DE=BF$

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