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若函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、三象限,则二次函数$y=ax^{2}+b$的大致图象是（ ）

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已知二次函数$y=x^{2}-2x-3$. $(1)$求该二次函数的顶点坐标； $(2)$在平面直角坐标系$xOy$中,画出二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图象； $(3)$结合函数图象,直接写出当$-1\leqslant x\leqslant 2$时,$y$的取值范围.

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已知函数$y=\left(k-3\right)x^{2}+2x+1$的图象与$x$轴有交点,则$k$的取值范围是（ ）

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直角三角形的两条边长分别为$3$和$4$,则这个直角三角形斜边上的高为____.

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如图,在每个小正方形的边长均为$1$的网格图中,一段圆弧经过格点$A$,$B$,$C$,格点$A$,$D$的连线交圆弧于点$E$,则$AE$的长为______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$自变量$x$的部分取值和对应函数值$y$如表: $x$ $\ldots $ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $8$ $3$ $0$ $-1$ $0$ $3$ $\ldots $ 则在实数范围内能使得$y-3 \gt 0$成立的$x$取值范围是（ ）

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如图,$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆,$AB=AC$,$P$是$\odot O$上一点,请你只用无刻度的直尺,分别画出图①和图②中$\angle P$的平分线.

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如图,$D$、$E$、$F$分别是等腰三角形$ABC$边$BC$、$CA$、$AB$上的点,如果$AB=AC$,$BD=2$,$CD=3$,$CE=4$,$AE=\frac{3}{2}$,$\angle FDE=\angle B$,那么$AF$的长为（ ）

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关于二次函数$y=2\left(x-3\right)^{2}+1$,下列说法正确的是（ ）

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已知二次函数的表达式为:$y=x^{2}-6x+5$,求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

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已知函数$y=(a^{2}+1)x^{2}+a^{2}x+1$,在$x \lt -1$范围内,函数$y$的值随$x$的值的增大而______.

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在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的图象过点$\left(4,3\right)$,$\left(-2,0\right)$,且与$y$轴交于点$A$. $(1)$求该函数的解析式及点$A$的坐标； $(2)$当$x \gt 0$时,对于$x$的每一个值,函数$y=x+n$的值大于函数$y=kx+b\left(k\neq 0\right)$的值,直接写出$n$的取值范围.

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抛物线$y=-3x^{2}+6x+1$的对称轴是______.

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在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,$\angle ADE=\angle C$,$AD=1$,$AE=2$,$AC=3$,那么$AB=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在平面直角坐标系中,点$A\left(-1,0\right)$、$B\left(0,3\right)$在抛物线$y=-x^{2}+bx+c$上,该抛物线的顶点为$C$.点$P$为该抛物线上一点,其横坐标为$m$. $(1)$求该抛物线的解析式； $(2)$当$BP\bot y$轴时,求$\triangle BCP$的面积； $(3)$当该抛物线在点$A$与点$P$之间（包含点$A$和点$P)$的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定

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若直角三角形三边长分别是$n$,$n+3$,$n+6$,则该三角形的面积是______.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,下列说法错误的是（ ）

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【问题呈现】 如图$1$,$\angle MPN$的顶点在正方形$ABCD$两条对角线的交点处,$\angle MPN=90^{\circ}$,将$\angle MPN$绕点$P$旋转,旋转过程中,$\angle MPN$的两边分别与正方形$ABCD$的边$AD$和$CD$交于点$E$、$F($点$F$与点$C$,$D$不重合).探索线段$DE$、$DF$、$AD$之间的数量关系. 【问题初探】 $(1)$爱动脑筋的小悦发现,通过证明两

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如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与$x$轴交于点$A\left(-1,0\right)$和$C\left(3,0\right)$,与$y$轴交于点$B\left(0,3\right)$,$P$是抛物线上的一动点. $(1)$求抛物线的表达式； $(2)$若点$D\left(2,3\right)$向下平移$8$个单位长度,向右平移$m\left(m \gt 0\right)$个单位长度后,恰好落在$y=-x^

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD$是斜边$AB$上的高. $(1)$求证:$\triangle ACD$ ∽ $\triangle CBD$； $(2)$若$AD=4$,$BD=1$,求$CD$的长.

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