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已知$\odot O$的半径为$5cm$,$A$为线段$OB$的中点,当$OB=9cm$时,点$A$与$\odot O$的位置关系是______.

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《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数$a$,$b$,$c$的计算公式:$a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})$,$b=mn$,$c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})$,其中$m \gt n \gt 0$,$m$,$n$是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）

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如图所示，点\(A\)，\(B\)，\(C\)在同一直线上，点\(M\)在\(AC\)外，经过图中的三个点作圆，可以作______个．

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小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是\((\quad)\)

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平面直角坐标系内的三个点\(A(1,-3)\)、\(B(0,-3)\)、\(C(2,-3)\)，______确定一个圆，\((\)填“能”或“不能”\().\)

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下列语句： ①平分弦的直径垂直于弦； ②三角形的内心到三角形各边的距离相等； ③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等； ④过平面内三点可以作一个圆； ⑤经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； ⑥\(90°\)的圆周角所对的弦是直径； ⑦相等的圆心角所对的弧相等．其中正确的个数是\((\quad)\)

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下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）

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如图,点$A$、$B$、$C$在同一条直线上,点$D$在直线$AB$外,过这四个点中的任意$3$个,能画的圆有（ ）

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解方程: $(1)x^{2}-2x-2=0$； $(2)4x\left(2x-1\right)=3\left(2x-1\right)$.

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一元二次方程$x\left(x-2\right)=x-2$的根是______.

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如图$1$是一款轴对称"磁悬浮地漏"无水时的示意图,它由一个圆弧形密封盖$\widehat {MN}$与两个磁体组成（下侧磁体固定不动）,连接杆$EF$与地面$BD$垂直,排水口$CD=24\sqrt{3}mm$,密封盖最高点$E$到地面的距离为$6mm$,整个地漏的高度$EG=75mm(G$为磁体底部中点）,密封盖被磁体顶起将排水口密封,$\widehat {MN}$所在圆的半径为______$mm$；当有水时如图$2$所示,密封盖下

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如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度$AB$.小刚在$D$处用 高$1.6m$的测角仪$CD$,测得教学楼顶端$A$的仰角为$30^{\circ}$,然后向教学楼前进$40m$到达$E$,又测得教学楼顶端$A$的仰角为$60^{\circ}$.求这幢教学楼的高度.(已知:$\sqrt{2}\approx 1.414$,$\sqrt{3}\approx 1.732$,结果保留一位小数）

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如果关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}\frac{10x-4}{7}≤x+2\\ x＞\frac{3a+9}{2}\end{array}\right.$无解,且关于$y$的分式方程$\frac{3y}{y-2}-\frac{a-9}{2-y}=1$的解为非负整数,则符合条件的所有整数$a$的和为______.

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如图,$BD$是平行四边形$ABCD$的对角线$,AE$ ∥ $CF$,分别交$BD$于点$E$、$F$.求证:$AE=CF$.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,以$AC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$,点$Q$为$CA$延长线上一点,延长$QD$交$BC$于点$P$,连接$OD$,$∠ADQ=\frac{1}{2}∠DOQ$. $(1)$求证:$PD$是$\odot O$的切线； $(2)$连接$OP$,若$AQ=AC$,$AD=6$时,求$OP$的长.

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【材料】自从《义务教育数学课程标准$(2022$年版）》实施以来,九年级的晏老师通过查阅新课标获悉:切线长定理由"选学"改为"必学",并新增"会过圆外的一个点作圆的切线",在学习完《切线的性质与判定》后,她布置一题:"已知:如图所示,$\odot O$及$\odot O$外一点$P$.求作:直线$PQ$,使$PQ$与$\odot O$相切于点$Q$.李蕾同学经过探索,给出了如下的一种作图方法: ​ $(1)$连接$OP$,分别以$O$、

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如图,$PA$为$\odot O$的切线,$A$为切点,过$A$作$AB\bot OP$,垂足为$C$,交$\odot O$于点$B$,延长$BO$与$PA$的延长线交于点$D$. $(1)$求证:$PB$为$\odot O$的切线； $(2)$若$OB=3$,$OD=5$,求$AB$的长.

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关于$x$的一元二次方程$x^{2}-kx-2=0$的根的情况是（ ）

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,将$\triangle ABC$绕点$A$按顺时针方向旋转到$\triangle ADE$,使点$C$落在$AB$边的点$E$处. $(1)$在图中作出旋转后的$\triangle ADE$. $(2)$连接$BD$,若$\angle BAC=40^{\circ}$,求$\angle BDE$的度数.

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如图,$AB$是半圆$O$的直径,$C$,$D$是半圆$O$上的两点,$D$为弧$AC$的中点,$OD$与$AC$交于点$E$. $(1)$证明:$OD$ ∥ $BC$； $(2)$若$\angle B=70^{\circ}$,求$\angle CAD$的度数.

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