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已知$\odot O$的半径长为$10cm$,若点$P$在$\odot O$外,则线段$OP$的长度为______$cm.(写出一个正确的值即可)$

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以下说法正确的是\((\quad)\)

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如图,一艘轮船位于灯塔$P$的南偏东$60^{\circ}$方向,距离灯塔$50$海里的$A$处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔$P$的北偏东$45^{\circ}$方向上的$B$处. $(1)B$处与灯塔$P$的距离为多少海里； $(2)AB$为多少海里（结果保留根号).

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如图,已知$A\left(-4,n\right)$,$B\left(2,-4\right)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象和一次函数$y=ax+b$的图象的两个交点. $(1)$求反比例函数和一次函数的解析式； $(2)$求$\triangle AOB$的面积； $(3)$根据图象直接写出不等式$ax+b-\frac{k}{x} \lt 0$的解集.

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若关于\(x\)的方程\(\dfrac{a}{x+1}+1=\dfrac{x+a}{x-1}\)的解为负数，且关于\(y\)的不等式组\(\begin{cases}y-1\geqslant\dfrac{2y-1}{3}\\ -\dfrac{1}{2}(y-a)>0\end{cases}\)无解，则所有满足条件的整数\(a\)的值之积是\((\quad)\)

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如果关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}m-4x>4\\ x-\dfrac{11}{2}< 3(x+\dfrac{1}{2})\end{cases}\)有且仅有四个整数解，且关于\(x\)的分式方程\(\dfrac{2-mx}{2-x}-\dfrac{6}{x-2}=1\)有非负整数解，则符合条件的所有整数\(m\)的和是\((\quad)\)

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若整数\(a\)使关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}\dfrac{x+1}{2}\leqslant\dfrac{2x+5}{6}\\ x-2>a\end{cases}\)至少有\(4\)个整数解，且使关于\(x\)的分式方程\(\dfrac{12-ax}{x+2}=2\)有整数解，那么所有满足条件的\(a\)的和是\((\quad)\)

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若关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}-1\geqslant\dfrac{x-4}{2}\\ x+2a\leqslant 2(x-1)\end{cases}\)有解，且使关于\(y\)的分式方程\(\dfrac{1-2y}{y-2}+\dfrac{a-y}{2-y}=-3\)的解为非负数．则满足条件的所有整数\(a\)的和为\((\quad)\)

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若关于\(x\)的不等式组\(\begin{cases}\dfrac{3x-1}{2}>1\\ \dfrac {a+5x}{3}\leqslant 8\end{cases}\)恰有\(3\)个整数解，且关于\(y\)的分式方程\(\dfrac{a-2}{2-y}+\dfrac{1}{y-2}=-2\)有非负整数解，则符合条件的所有整数\(a\)的和是\((\quad)\)

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绍兴是著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离$CD$为$8m$,桥拱半径$OC$为$5m$,则水面宽$AB$为（ ）

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如图,某同学假期出去旅游,想要用已学过的知识测量一座古塔的高度,他在离古塔$90$米的$A$处用测角仪测得塔顶的仰角为$30^{\circ}$.若测角仪高$AD=1$米,则古塔$BE$的高为多少米?

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位于卫辉市东南隅的镇国塔,是河南省重点保护文物.镇国塔为七层六角楼阁式砖塔,塔每层的六个角上都悬挂着一个风铃,风吹起的时候叮当作响,悦耳动听.某数学小组在老师的指导下,测算镇国塔的高度.如图,已知$AD=2m$,在点$D$处测得镇国塔的顶端$E$的仰角为$33^{\circ}$,自$A$向镇国塔走$30m$到达点$B$,测得镇国塔的顶端$E$的仰角为$60^{\circ} ($点$A$,$B$,$C$在一条直线上).则数学小组测算的镇国

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如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,过点$C$作$BD$的平行线交$AB$的延长线于点$E$. $(1)$求证:$AC=CE$； $(2)$若$\angle BOC=60^{\circ}$,$CE=4$,求$AB$的长.

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如图,某农业示范基地借助无人机测量一块试验田的宽度$MN$.一架水平飞行的无人机在$P$处测得试验田一侧边界$M$处的俯角为$\alpha $,无人机沿水平线$PR$方向继续飞行$24$米至$Q$处,测得试验田另一侧边界$N$处的俯角为$30^{\circ}$,线段$PH$的长为无人机距地面的铅直高度,点$H$,$M$,$N$在同一水平线上,点$H$,$M$,$N$,$P$,$Q$,$R$在同一平面上.其中$tanα=\frac{5}{

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如图,一座古塔座落在小山上（塔顶记作点$A$,其正下方水平面上的点记作点$B)$,小李站在附近的水平地面上,他想知道自己到古塔的水平距离,便利用无人机进行测量,但由于某些原因,无人机无法直接飞到塔顶进行测量,因此他先控制无人机从脚底（记为点$C)$出发向右上方（与地面成$45^{\circ}$,点$A$,$B$,$C$,$O$在同一平面）的方向匀速飞行$4$秒到达空中$O$点处,再调整飞行方向,继续匀速飞行$7$秒到达塔顶,已知无人机的

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把反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象沿$y$轴翻折,可以得到反比例函数______的图象.

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计算: $(1)$解不等式组$\left\{\begin{array}{c}2(x+1)≥-1\\ \frac{2x-2}{3}＜\frac{x}{3}+\frac{x-2}{4}\end{array}\right.$,并把解集在数轴上表示出来. $(2)$解方程: ①$\left(2x+3\right)\left(x-2\right)=4$. ②$\frac{x-1}{x-3}+\frac{2}{3x-{x}^{2}}=1$. $(3

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如图,小明为了测量小河对岸大树$BC$的高度,他在点$A$测得大树顶端$B$的仰角为$45^{\circ}$,沿斜坡走$3\sqrt{5}$米到达斜坡上点$D$,在此处测得树顶端点$B$的仰角为$31^{\circ}$,且斜坡$AF$的坡比为$1:2$. $(1)$求小明从点$A$到点$D$的过程中,他上升的高度； $(2)$大树$BC$的高度约为多少米? $($参考数据:$\sin 31^{\circ}\approx 0.52,\co

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万科广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所,从一楼到二楼有一自动扶梯（如图$1)$,图$2$是侧面示意图,已知自动扶梯$AC$的坡度（或坡比$)i=1:2$,$AC=6\sqrt{5}$米,$BE$是二楼楼顶$,EF$ ∥ $MN,$点$B$在$EF$上且在自动扶梯顶端$C$的正上方,若$BC\bot EF$,在自动扶梯底端$A$处测得$B$点仰角为$40^{\circ}$,求二楼的层高$BC.($精确到$0.1$米,参考数据:$\sin

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已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$的图象经过点$\left(0,3\right)$,$\left(1,6\right)$. $(1)$试确定此二次函数的解析式； $(2)-2\leqslant x\leqslant 3$时,求$y$的取值范围.

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