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如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$,$D$为直径$AB$同侧圆上的点,且点$D$为$\widehat {AC}$的中点,过点$D$作$DE\bot AB$于点$E$,延长$DE$,交$\odot O$于点$F$,$AC$与$DF$交于点$G$. $(Ⅰ)$如图①,若点$C$为$\widehat {DB}$的中点,求$\angle AGF$的度数； $(Ⅱ)$如图②,若$AC=12$,$AE=3$,求$\odot O$的半

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《周髀算经》中记载了"偃矩以望高"的方法."矩"在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的$ABC)$."偃矩以望高"的意思是把"矩"仰立放,可测量物体的高度.如图,点$A$,$B$,$Q$在同一水平线上,$\angle ABC$和$\angle AQP$均为直角,$AP$与$BC$相交于点$D$.测得$AB=30cm$,$BD=15cm$,$AQ=10m$,则树高$PQ=\_\_\_\_\_\_m.$

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如图所示的"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为$a$,较短直角边长为$b$,若$ab=24$,大正方形的面积为$129$.则小正方形的边长为（ ）

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如图,$A$、$B$、$C$、$D$都是$\odot O$上的点,若$CD=BD$,$\angle AOC=108^{\circ}$,则$\angle AOD=\left(\ \ \right)$

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如图,$\odot O$的直径为$10$,弦$AD$,$BC$在圆心的两侧,且$AD$ ∥ $BC$,$AD=6$,$BC=8$,则图中阴影部分的面积为______.

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不等式$2x\geqslant -4$的解集是____.

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在下列四个实数中,$2024$的倒数是（ ）

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图$1$是玻璃水杯的截面图,其左右轮廓线$AC$,$BD$为某抛物线的一部分,杯口$AB=8cm$,杯底$CD=4cm$,且$AB$ ∥ $CD,$杯深$12cm$.如图$2$,将盛有部分水的水杯倾斜$45^{\circ}$,水面正好经过点$B($即$\angle ABP=45^{\circ})$.嘉淇在图$1$中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在$y$轴上),对于下列结论,判断正确的是（ ） 结论$Ⅰ$:玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解

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如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD\bot AB$交于点$E$.若$CD=8$,$AE=2$,则$\odot O$的半径为（ ）

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$(1)$解方程:$2x^{2}-4x-1=0$； $(2)3\left(x-3\right)=\left(x-3\right)^{2}$.

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菱形$ABCD$的一条对角线长为$6$,边$AB$的长为方程$y^{2}-7y+10=0$的一个根,则菱形$ABCD$的周长为（ ）

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三角形两边的长分别是$3$和$4$,第三边的长是方程$x^{2}-12x+35=0$的根,则该三角形的周长为______.

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$1$号探测气球从海拔$50m$处出发,与此同时,$2$号探测气球从海拔$150m$处出发,图中的$l_{1}$,$l_{2}$分别表示$1$号、$2$号两个探测气球上升过程中所在位置的海拔高度$y($单位:$m)$与上升时间$x($单位:$\min )$之间的关系. $(1)$求$l_{1}$,$l_{2}$的函数解析式； $(2)1$号探测气球从出发点上升到海拔$200m$处的过程中,是否存在某一时刻使得两个探测气球位于同一海拔高度

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定义新运算"☆"如下:$a$☆$b=ab+b^{2}$, $(1)\left(-2\right)$☆$3= $______； $(2)$若$\left(x+2\right)$☆$3=\left(-11\right)$☆$x$,求$x$值.

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解下列方程: $(1)x^{2}-7x-1=0$； $(2)x\left(2x-5\right)=6x-15$.

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用适当方法解下列方程: $(1)2\left(x-3\right)^{2}=8$； $(2)2x^{2}+3x=3$.

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一元二次方程$x^{2}-2=0$的根是（ ）

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能用直接开平方法求解的一元二次方程是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB=10$,$\angle B=36^{\circ}$,则$AC$的长度为（ ）

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如图$1$是某工厂生产的某种多功能儿童车,根据需要可变形为滑板车或三轮车,图$2$、图$3$是其示意图,已知前后车轮半径相同,车杆$AB$的长为$60cm$,点$D$是$AB$的中点,前支撑板$DE=30cm$,后支撑板$EC=40cm$,车杆$AB$与$BC$所成的$\angle ABC=53^{\circ}$. $(1)$如图$2$,当支撑点$E$在水平线$BC$上时,支撑点$E$与前轮轴心$B$之间的距离$BE$的长； $(2)$

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