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在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^{2}-4ax+c\left(a\neq 0\right)$的图象与$x$轴的一个交点的横坐标为$-1$,则另一个交点的横坐标为（ ）

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二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像经过点$A\left(0,8\right)$,顶点为$P$. $(1)c=\_\_\_\_\_\_.$ $(2)$当$a=\frac{1}{4}$时,若顶点$P$到$x$轴的距离为$10$,则$b=$______； $(3)$若二次函数图像交$x$轴于$B$、$C$两点,点$B$坐标为$\left(8,0\right)$,且$\triangle ABC$的面积不小于$20$,求$a$的取值范围

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如图,在$\odot O$中,弦$AB$、$CD$交于点$E$,且$AB=CD$.求证:$DE=BE$.

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如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle A=90^{\circ}$,$AB=3$,$AC=4$,$P$是边$BC$上的一个动点,过点$P$分别作$PD\bot AB$于点$D$,$PE\bot AC$于点$E$,连接$DE$.如图$2$所示的图象中,$M(\frac{9}{5},\frac{12}{5})$是该图象的最低点.下列四组变量中,$y$与$x$之间的对应关系可以用图$2$所示图象表示的是（ ）

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如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$L_{1}$:$y=x^{2}-2x-3$的顶点为$P$.直线$l$过点$M\left(0,m\right)\left(m\geqslant -3\right)$,且平行于$x$轴,与抛物线$L_{1}$交于$A$、$B$两点$(B$在$A$的右侧).将抛物线$L_{1}$沿直线$l$翻折得到抛物线$L_{2}$,抛物线$L_{2}$交$y$轴于点$C$,顶点为$D$. $(1)$当$m=1$

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已知点$\left(-1,y_{1}\right)$、$(-3\dfrac{1}{2}$,$y_{2})$、$(\dfrac{1}{2}$,$y_{3})$在函数$y=3x^{2}+6x+12$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为（ ）

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已知点$P\left(m-1,n\right)$,$Q\left(m+1,n\right)$,$M\left(m+3,n\right)$,$N\left(m+2,n+1\right)$,二次函数的图象经过这四个点中的三个点,得到对应的函数解析式$y=ax^{2}+bx+c$,当$a$的值最小时,所对应的二次函数图象所经过的点为（ ）

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在平行四边形$ABCD$中,$AB=5$,$BC=4$,过$A$作$AH\bot BC$交$BC$边于点$H$,若$CH=1$,则四边形$ABCD$的面积为______.

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关于$y$的一元二次方程$y^{2}=6y$的解为（ ）

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抛物线$y=ax^{2}+bx+c$上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表: $x$ $\ldots $ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $0$ $4$ $6$ $6$ $4$ $\ldots $ 从表中数据可知,下列说法正确的是（ ）

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若抛物线$y=ax^{2}+4x+5$的开口向下,则$a$的值可以是（ ）

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已知$A(-1$,$y_{1})$,$B(1$,$y_{2})$,$C(4$,$y_{3})$三点都在二次函数$y=2\left(x-1\right)^{2}$的图像上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系为（ ）

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点$E$是正方形$ABCD$的对角线$BD$上一点,过点$E$作$EF\bot AE$交$CD$于点$F$,$AE$的延长线交$BC$于点$G$,$AF$交$BD$于点$H$. $(1)$如图$1$,证明:$AE=EF$； $(2)$如图$2$,若$AD=DE$,$AB=2$,求$CF$的长.

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抛物线$y=-x^{2}+bx+c$过点$\left(0,-3\right)$和$\left(2,1\right)$. $(1)$求$b$,$c$的值； $(2)$直接写出抛物线的顶点坐标； $(3)$当$-3\leqslant x \lt 0$时,结合函数图象,求$y$的取值范围.

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如图,已知二次函数$y=ax^{2}-4x+c$的图象经过点$A\left(-1,-1\right)$和点$B\left(3,-9\right)$. $(1)$求该二次函数的解析式； $(2)$写出该二次函数图象的对称轴______,顶点坐标______； $(3)$点$C\left(m,m\right)($其中$m \gt 0)$与点$D$均在该函数图象上,且这两点关于函数图象的对称轴对称,求$m$的值及点$D$的坐标.

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若函数$y=\left(m-3\right)x^{2}-4x+2$的图象与$x$轴只有一个交点,则$m$的值是（ ）

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如图,二次函数$y=ax^{2}+4x+c$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中$A\left(-1,0\right)$,$C\left(0,5\right)$. $(1)$求二次函数的表达式,并求出点$B$的坐标. $(2)$连接$BC$,现将抛物线图象向下平移$m$个单位,使得顶点落在线段$BC$上,请求出$m$的值.

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下列关于二次函数$y=-3\left(x-2\right)^{2}-3$的说法,正确的是（ ）

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如图,$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,把$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转到$\triangle A_{1}B_{1}C$的位置,$A_{1}B_{1}$交直线$CA$于点$D$.若$AC=6$,$BC=8$,当线段$CD$的长为______时,$\triangle A_{1}CD$是等腰三角形.

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如图,点$E$是▱$ABCD$的边$AD$上的一点,且$DE:AE=1:2$,连接$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$,若$DE=3$,$DF=4$,则▱$ABCD$的周长为（ ）

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