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阅读材料:选取二次三项式$ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$中的前两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如:选取二次项和一次项配方:$x^{2}-4x+2=(x^{2}-4x+4-4)+2=\left(x-2\right)^{2}-2$； 请根据阅读材料解决下列问题: $(1)$【直接应用】,将代数式配方:$x^{2}-4x+9=$______； $(2)$【类比应用】已知$x^{2}+y^{2}+4x-6y

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如果关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{x}{4}＜\frac{x+4}{2}\\-4x+20≥5(x-a)\end{array}\right.$至少有三个整数解,且关于$y$的分式方程$\frac{y+a}{y-2}=3-\frac{2a}{2-y}$的解为非负整数,则符合条件的所有整数$a$的和为______.

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一元二次方程$y^{2}-4y-5=0$配方后可化为（ ）

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一元二次方程$x^{2}-4x-6=0$经过配方可变形为（ ）

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用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x+8=0$,配方后得到的方程是（ ）

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一元二次方程$x^{2}+6x-6=0$配方后化为（ ）

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在平面直角坐标系中,若抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过$A\left(-1,2\right)$,$B\left(3,2\right)$,$C\left(4,-3\right)$三点,则下列关于抛物线性质的说法正确的是（ ）

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如图,点$P$在函数$y=\frac{k}{x}(x \gt 0$,$k \gt 2$,$k$为常数）的图象上,$PC\bot x$轴交$y=\frac{2}{x}$的图象于点$A$,$PD\bot y$轴于点$D$,交$y=\frac{2}{x}$于点$B$,当点$P$在$y=\frac{k}{x}(x \gt 0$,$k \gt 2$,$k$为常数）的图象上运动时（ ）

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如图,抛物线$y=-x^{2}+2x+m+1(m$为常数）交$y$轴于点$A$,与$x$轴的一个交点在$2$和$3$之间,顶点为$B$. ①抛物线$y=-x^{2}+2x+m+1$与直线$y=m+2$有且只有一个交点； ②若点$M(-2$,$y_{1})$、点$N(\frac{1}{2}$,$y_{2})$、点$P(2$,$y_{3})$在该函数图象上,则$y_{1} \lt y_{2} \lt y_{3}$； ③将该抛物线向左平移$2

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已知方程组\(\begin{cases}{2x+y=4}\\ {x+2y=1}\end{cases}\)，则\(x-y\)的值为\((\quad)\)

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方程组\(\begin{cases}{x+y=3}\\ {x-y=-1}\end{cases}\)的解是\((\quad)\)

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如图,$\odot O$的半径为$5$,弦$AB=6$,$P$是弦$AB$上的一个动点（不与$A$、$B$重合),下列符合条件的$OP$的值可以是（ ）

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用指定方法解下列一元二次方程 $(1)3\left(2x-1\right)^{2}-12=0($直接开平方法$)\ \ \ \ \ \ \ $ $(2)2x^{2}-4x-7=0(配方法)$ $(3)x^{2}+x-1=0($公式法$)\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $(4)\left(2x-1\right)^{2}-x^{2}=0(因式分解法)$

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用适当的方法解下列方程: $(1)x\left(x-3\right)=x-3$； $(2)x^{2}+4x=12$； $(3)2x^{2}-5x+1=0$； $(4)3{x}^{2}+(\sqrt{2}+1)x+1=0$.

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如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8$,$AD=8\sqrt{3}$,点$E$为边$AD$上一动点,点$F$为$EC$的中点,连接$BE$,点$G$在$BE$上,且$EF=GF$,在点$E$从点$D$运动到点$A$的过程中,点$G$运动的路径长为______.

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如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AC=BC\)，以\(AB\)为直径的圆交\(AC\)、\(BC\)与点\(E\)和点\(D\)，且\(E\)为\(AC\)的中点，过\(E\)点作\(EF⊥BC\)与点\(F\)， \((1)\)求证：\(EF\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)求\(\dfrac{EF}{BC}\)的值．

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如图，\(∠PAQ\)是直角，半径为\(5\)的\(⊙O\)经过\(AP\)上的点\(T\)，与\(AQ\)相交于\(B\)，\(C\)两点，且\(TB\)平分\(∠OBA.\) \((1)\)求证：\(AP\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)已知\(AT=4\)，试求\(BC\)的长．

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如图\(1\)，\(AB\)为\(⊙O\)直径，\(BD\)与\(⊙O\)相切于点\(D\)，\(AD\)交\(⊙O\)于点\(C\)，点\(E\)为\(BD\)的中点，连接\(CE.\) \((1)\)求证：\(CE\)与\(⊙O\)相切； \((2)\)如图\(2\)，连接\(AE\)，若\(AC=4CD\)，\(DE=2\)，求\(AE\)的长．

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如图，\(\triangle ABC\)内接于\(⊙O\)，\(∠ABC>90°\)，过点\(B\)作\(AB\)的垂线，交\(⊙O\)于点\(E\)，过点\(A\)作\(AD⊥BC\)，交\(CB\)的延长线于点\(D\)，且\(∠DAB=∠C\)，过点\(E\)作\(EF/\!/AC\)，交\(⊙O\)于点\(M\)，交\(DA\)的延长线于点\(F.\) \((1)\)求证：\(FD\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(

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《九章算术》中记载:"今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出."译文:今有门,不知其高、宽；有竿,不知其长短.横放,竿比门宽出$4$尺；竖放,竿比门高出$2$尺；斜放,竿与门的对角线长恰好相等,则门的对角线长为______尺.

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