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如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．

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我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东54°方向，再航行一段距离到达B处，测得小岛C位于它的北偏东30°方向，且与山东舰相距30海里．求山东舰从A到B航行了多少海里？（精确到0.1）参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54&deg

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如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）

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如图,在$\triangle ACB$中,$AC=2$,$AB=4$,$D$为边$AB$上一点,连接$CD$,满足$\angle ACD=\angle B$. $(1)$求$AD$的长； $(2)$若$\angle BCD=90^{\circ}$,求$\tan \angle ACD$的值.

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如图，\(AB\)是\(⊙O\)的直径，点\(C\)是\(⊙O\)上异于\(A\)、\(B\)的点，连接\(AC\)、\(BC\)，点\(D\)在\(BA\)的延长线上，且\(∠DCA=∠ABC\)，点\(E\)在\(DC\)的延长线上，且\(BE⊥DC.\) \((1)\)求证：\(DC\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(\sin∠EBD=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)，\(BE=3\)，求\(DA\)的长．

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如图，\(\triangle ABC\)内接于\(⊙O\)，\(∠BAC\)的平分线\(AF\)交\(⊙O\)于点\(G\)，过\(G\)作\(DE/\!/BC\)分别交\(AB\)，\(AC\)的延长线于点\(D\)，\(E.\) \((1)\)求证：\(DE\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)已知\(AG=8\)，\(\dfrac{BF}{DG}=\dfrac{3}{4}\)，点\(I\)为\(\triangle ABC\)的

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如图，在\({\rm Rt}\triangle ABC\)中，\(∠C=90°\)，\(AE\)是\(\triangle ABC\)的角平分线．\(AE\)的垂直平分线交\(AB\)于点\(O\)，以点\(O\)为圆心，\(OA\)为半径作\(⊙O\)，交\(AB\)于点\(F.\) \((1)\)求证：\(BC\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)若\(BF=8\)，\(\tan B=\dfrac{5}{12}\)，求\(CE\)

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如图,在$Rt\triangle ABC$,$\angle ABC=90^{\circ}$,该三角形的三个顶点均在坐标轴上.二次函数$y=ax^{2}+bx+c$过$A\left(-1,0\right)$,$B\left(0,2\right)$,$C\left(4,0\right)$. $(1)$求二次函数的解析式； $(2)$点$P$为该二次函数第一象限上一点,当$\triangle BCP$的面积最大时,求$P$点的坐标； $(3)

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某超市经销一种商品,每件成本为$50$元,为了获取更大利润,该超市准备将这种商品涨价销售.经市场调查,当该商品每件$60$元时,每个月可销售$300$件,若每件的销售价每增加$1$元,则每个月的销售量将减少$10$件,设该商品每件的销售价为$x$元. $(1)$当该商品每个月的销售利润为$3750$元时,则该商品的销售价是多少元? $(2)$当该商品每件的销售价为多少元时,每个月的销售利润最大?最大利润为多少?

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在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(t-2$,$y_{1})$,$B(2$,$y_{2})$,$C(m$,$y_{3})$在抛物线$y=x^{2}-2tx+c$上. $(1)$当$y_{1}=c$时,求$t$的值； $(2)$若对于$2-\frac{1}{2}t＜m＜3-\frac{1}{2}t$,都有$y_{1} \gt y_{3} \gt y_{2}$,求$t$的取值范围.

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=6$,$BC=8$,点$D$为$AB$的中点,过点$D$作$DE$ ∥ $BC$交$AC$于点$E$,动点$P$以每秒$1$个单位长度的速度从点$A$出发,沿着折线$A\rightarrow D\rightarrow E(含端点)$运动,到达$E$点停止运动,过点$P$作$PQ$ ∥ $BC$交$AC$于点$Q$.设点$P$的运动时间为$x

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在矩形$ABCD$中,点$P$是射线$BA$上一个动点,在矩形$ABCD$内部（包含边界）作一点$E$,使得$PE\bot DE$. $(1)$如图$1$,当点$P$在$BA$的延长线上,$PE$与$AD$交于点$M$,试说明:$\triangle AME$ ∽ $\triangle PMD$； $(2)$当点$P$在$AB$边上时,$AE$与$PD$相交于点$N$. ①如图$2$,若点$E$在$BC$边上,试说明:$\triangle

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若方程\(x-y=3\)与下面方程中的一个组成的方程组的解为\(\begin{cases}{x=4}\\ {y=1}\end{cases}\)，则这个方程可以\((\quad)\)

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如图,点$A$,$B$,$C$在同一条直线上,点$B$在点$A$,$C$之间,点$D$,$E$在直线$AC$同侧,$AB \lt BC$,$\angle A=\angle C=90^{\circ}$,$\triangle EAB$ ≌ $\triangle BCD$,连接$DE$.设$AB=a$,$BC=b$,$DE=c$,给出下面三个结论: ①$a+b \lt c$； ②$a+b \gt \sqrt{a^2+b^2}$； ③$\sqr

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如图,在四边形$ABCD$中,已知$\angle ADC=\angle BAC$,那么补充下列条件后不能判定$\triangle ADC$和$\triangle BAC$相似的是（ ）

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如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{1}$:$y=2x+1$与$y$轴交于点$A$,直线$l_{2}$与$y$轴,$x$轴分别交于点$B$,点$C$,$l_{1}$与$l_{2}$交于点$D\left(1,m\right)$,连接$OD$,已知$OC$的长为$4$. $(1)$求点$D$的坐标及$l_{2}$直线的解析式； $(2)$求$\triangle AOD$的面积.

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在平面直角坐标系$xOy$中,正方形$A_{1}B_{1}C_{1}O$、$A_{2}B_{2}C_{2}B_{1}$、$A_{3}B_{3}C_{3}B_{2}$,$\ldots $,按如图所示的方式放置、点$A_{1}$、$A_{2}$、 $A_{3}$,$\ldots $和点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$,$\ldots $分别在直线$y=kx+b$和$x$轴上、已知$C_{1}(1,-1)$,$C_{2}(\fr

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直线$y_{1}=x+1$与抛物线$y_{2}=-x^{2}+3$的图象如图,当$y_{1} \gt y_{2}$时,$x$的取值范围为（ ）

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如图$,AB$ ∥ $CD$ ∥ $EF,$下面等式成立的是（ ）

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综合与实践 如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$AB=4$,$BC=2$,点$D$、$E$分别是边$BC$、$AC$的中点,连结$DE$,将$\triangle CDE$绕点$C$逆时针方向旋转,旋转角为$\alpha $. $(1)$观察发现 ①当$\alpha =0^{\circ}$时,$\frac{AE}{BD}= \_\_\_\_\_\_;$②当$\alpha =18

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