先看题，再决定怎么练

如图,在等边$\triangle ABC$中,$AD\bot BC$于$D$,延长$BC$到$E$,使$CE=\frac{1}{2}BC$,$F$是$AC$的中点,连接$EF$并延长$EF$交$AB$于$G$,$BG$的垂直平分线分别交$BG$,$AD$于点$M$,点$N$,连接$GN$,$CN$,下列结论:①$\angle ACN=\angle BGN$；②$GF=\frac{1}{2}EF$；③$\angle GNC=120^{\c

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如图,直角三角形$ABC$与直角三角形$BDE$中,点$B$,$C$,$D$在同一条直线上,已知$AC=AE=CD$,$\angle BAC$和$\angle ACB$的角平分线交于点$F$,连$DF$,$EF$,分别交$AB$、$BC$于$M$、$N$,已知点$F$到$\triangle ABC$三边距离为$3$,则$\triangle BMN$的周长为______.

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如图,在等边$\triangle ABC$中,$AB=10$,$D$是$AC$上一点,且$AD=2$,点$E$是射线$BC$上一动点,连接$DE$,以$DE$为边在$DE$右侧作等边$\triangle DEF$,连接$CF$,若$CE=4$,则$CF$的长为（ ）

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如图,一个直角三角形纸板的直角边$AC$,$BC$分别经过正八边形的两个顶点,则图中$\angle 1+\angle 2=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,$\triangle ABC$中,点$D$是$AB$的中点,点$E$是$AC$的中点、点$F$是中线$CD$的中点,若$\triangle DEF$的面积是$3$,则$\triangle ABC$的面积是（ ）

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在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$BC=2cm$,$CD\bot AB$,在$AC$上取一点$E$.使$EC=BC$,过点$E$作$EF\bot AC$交$CD$的延长线于点$F$,若$EF=5cm$,则$AB=$____$cm$.

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作图题（要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法） 已知:如图,线段$a$,$c$,$\angle \alpha $. 求作:$\triangle ABC$,使得$BC=a$,$AB=c$,$\angle ABC=\angle \alpha $.

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如图,铁路上$A$,$B$两点相距$25km$,$C$,$D$为两村庄,$DA\bot AB$于点$A$,$CB\bot AB$于点$B$,已知$DA=15km$,$CB=10km$,现在要在铁路$AB$上建一个土特产品收购站$E$,使得$C$,$D$两村到$E$站的距离相等,则$E$站应建在离$A$站多少$km$处?

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=120^{\circ}$,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$,交$BC$于点$F$,若$BF=2$,则$BC$的长为______.

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已知:如图,点$B$,$F$,$C$,$E$在同一直线上,$AC$,$DF$相交于点$G$,$AB\bot BE$,垂足为$B$,$DE\bot BE$,垂足为$E$,且$AC=DF$,$BF=CE$.求证:$\angle ACB=\angle DFE$.

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如图,$B$为$\angle A$边上一点,$AB=5$,$BC\bot AC$,$P$为射线$AC$上一点,点$Q$,$P$关于直线$BC$对称,$QD\bot AB$于点$D$,直线$DQ$,$BC$交于点$E$,连结$DP$,设$AP=m$. $(1)$当点$P$在线段$AC$上时,若$BC=4$,求用含$m$的代数式表示$PQ$的长； $(2)$在（1）的条件下时,若$AP=PD$,求$CP$的长； $(3)$连结$PE$,若$

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如图$1$,点$C$、$D$是线段$AB$同侧两点,且$AC=BD$,$\angle CAB=\angle DBA$,连接$BC$,$AD$交于点$ E$. （1）求证:$AE=BE$； （2）如图$2$,$\triangle ABF$与$\triangle ABD$关于直线$AB$对称,连接$EF$. ①判断四边形$ACBF$的形状,并说明理由； ②若$\angle DAB=30^{\circ}$,$AE=5$,$DE=3$,求线段$

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在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$BC$边上的一个动点（点$D$不与点$B$,$C$重合）,连接$AD$,作等腰$\triangle ADE$,使$AD=AE$,$\angle DAE=\angle BAC$,点$D$,$E$在直线$AC$两旁,连接$CE$. $(1)$如图$1$,当$\angle BAC=90^{\circ}$时,直接写出$BC$与$CE$的位置关系； $(2)$如图$2$,当$0^

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我们新定义下界三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方则称这个三角形为勾股高三角形,这两边交点为勾股顶点. $(1)$特例感知: ①等腰直角三角形是勾股高三角形______$(请填写"是"或"不是")$； ②如图$1$,已知$\triangle ABC$为勾股高三角形,其中$C$为勾股顶点$CD$是$AB$边上的高.若$BD=2AD=2$,试求$CD$的值. $(2)$深入探究: 如图$2$,已知$\triangle

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如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是$\angle BAC$的平分线,$AD$的垂直平分线交$AD$于点$E$,交$BC$的延长线于点$F$,连接$AF$. 求证:$\left(1\right)\triangle ABF$ ∽ $\triangle CAF$； $(2)FD^{2}=FC\cdot FB$.

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如图,点$B$,$F$,$C$,$E$在同一条直线上,$BF=EC$. $(1)$请从①$AB=DE$,②$\angle A=\angle D$,③$DE$ ∥ $AB$中任选两个当条件,第三个当结论构成一个真命题. 条件:______； 结论:______. $(2)$证明你所构建的命题是真命题.

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如图,已知$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,直角$\angle EPF$的顶点$P$是$BC$中点,两边$PE$、$PF$分别交$AB$、$AC$于点$E$、$F$,给出以下四个结论: ①$AE=CF$； ②$\triangle EPF$是等腰直角三角形； ③$S_{四边形AEPF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$； ④当$\angle EPF$

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如图,在钝角$\triangle ABC$中,画$AC$边上的高,正确的是（ ）

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规定:顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为"友好三角形". $(1)$如图①,在$\triangle ABC$与$\triangle ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,当$\angle BAC$、$\angle BAD$、$\angle BAE$满足什么条件时,$\triangle ABC$与$\triangle ADE$互为"友好三角形"； $(2)$如图②,在四边形$ABCD$中,$AD=AB$,$\angle BA

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如图,正方形$ABCD$是由$9$个边长为$1$的小正方形组成的,点$E$,$F$均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上,连接$AE$,$AF$,则$\angle EAF$的度数是______.

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