先看题，再决定怎么练

在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$. $(1)$如图$1$,点$E$,$F$分别在$AB$,$AC$上,且$\angle EDF=90^{\circ}$,求证:$BE=AF$； $(2)$如图$2$,点$M$在$AD$的延长线上,点$N$在$AC$上,且$\angle BMN=90^{\circ}$,求证:$MB=MN$.

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如图,在矩形$ABCD$中,$P$是形内一点,且$PA=PD$.求证:$PB=PC$.

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四边形$ABCD$的边长如图所示,对角线$AC$的长度随四边形形状的改变而变化.当$\triangle ABC$为等腰三角形时,对角线$AC$的长为（ ）

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如图$1$,点$P$从菱形$ABCD$的边$AD$上一点开始运动,沿直线运动到菱形的中心,再沿直线运动到点$C$停止,设点$P$的运动路程为$x$,点$P$到$AB$的距离为$m$,到$CD$的距离为$m$,且$y=\frac{n}{m}($当点$P$与点$C$重合时,$y=0)$,点$P$运动时$y$随$x$的变化关系如图$2$所示,则菱形$ABCD$的面积为______.

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已知直角三角形的两条边长为$4$和$5$,则此直角三角形斜边上的中线长为______.

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已知$\triangle ABC$是等边三角形. $(1)$如图$1$,点$D$是$\triangle ABC$外一点,且$\angle BDC=30^{\circ}$,请猜想线段$DA$、$DB$、$DC$之间的数量关系______； $(2)$证明你的结论: $(3)$如图$2$,点$D$是等边$\triangle ABC$外一点,若$DA=13$,$DB=5\sqrt{2}$,$DC=7$,试求$\angle BDC$的度数.

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$(a^{2}+b^{2}-1)(a^{2}+b^{2}+1)=80$,则$a^{2}+b^{2}=\_\_\_\_\_\_.$

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初二（8）班"数学兴趣小组"在学习"勾股定理"章节的内容后,遇到这样的问题.如图在直角三角形$ABC$中,$CA=6$,$CB=8$.点$D$是边$CB$上的一个动点（不与$B$、$C$重合）连接$AD$.若$\triangle ADB$是等腰三角形,求线段$CD$的长. 方法一:王朗坤同学利用学习的勾股定理进行解决,当$\triangle ABD$为等腰三角形时,$AD=BD$,设$CD=x$,则$BD=8-x$,所以$AD=BD=8

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如图,正方形$ABCD$是由$9$个边长为$1$的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点.连接$AE$,$AF$,则$\angle EAF=$____.

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如图,长方体的长为$3$,宽为$2$,高为$4$,一只蚂蚁从点$A$出发,沿长方体表面到点$B$处吃食物,那么它爬行最短路程是（ ）

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,将其折叠,使$A$落在边$CB$上的${A\’}$处,折痕为$CD$,若$\angle BDC=95^{\circ}$,则$\angle {A\’}DB=\_\_\_\_\_\_^{\circ}.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=4$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$\angle ABD=30^{\circ}$,$M$为$BD$上的动点,连结$AM$,$MC$. ​ $(1)$当$AM\bot BD$时,求$AM$； $(2)$当$AB=BM$时,求证:$AM=CM$； $(3)$求$BM+2CM$的最小值.

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如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=55^{\circ}$,将其折叠,使点$A$落在边$CB$上${A\’}$处,折痕为$CD$,则$\angle {A\’}DB=\left(\ \ \right)$

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如图所示,圆柱的高$AB=3$,底面直径$BC=3$,现在有一只蚂蚁想要从$A$处沿圆柱表面爬到对角$C$处捕食,则它爬行的最短距离是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,$AB=6\sqrt{3}$,点$E$为斜边$AC$的中点,点$D$在边$BC$上,且$CD=4$.点$P$为线段$AB$上的动点,则$PD+PE$的最小值为（ ）

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综合与实践: 已知:等边$\triangle ABC$. $(1)$如图$1$,$D$为线段$AB$上一点$,DE$ ∥ $BC$,交$AC$于点$E$.可知$\triangle ADE$为______三角形. $(2)D$为线段$AB$上一点,$F$为线段$CB$延长线上一点,且$DF=DC$. ①当点$D$为$AB$的中点时,如图$2$,猜想线段$AD$与$BF$的数原关系为______. ②当$D$为$AB$上任意一点,其余条件不

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已知:$\angle AOB=90^{\circ}$,$OM$是$\angle AOB$的平分线,将三角板的直角顶点$P$在射线$OM$上滑动,两直角边分别与$OA$、$OB$交于$C$、$D.PC$和$PD$有怎样的数量关系,证明你的结论.

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在直线$l$上依次摆放着七个正方形（如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是$3$,$4$,$5$,正放置的四个正方形的面积依次是$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=$____.

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【初步感知】 $(1)$在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图$1$,将等腰三角形纸片$ABC$与等腰三角形纸片$ABD$按图示位置摆放,其中$AB=BC$,$AD=BD$. 求证:$\angle ABC=\angle ADB$,请你完成证明. 【深入探究】 $(2)$如图$2$,$\triangle ABC$中,$AB=BC$,点$M$在底边$AC$上,$\angle BMN=\angle ABC=\alpha $,$BM=MN$,

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$(1)$如图①,$\triangle ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,点$D$为$BC$的中点,求$AD$的取值范围； $(2)$如图②,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$,$E$、$F$分别在$BC$、$CD$上,且$AB=BE$,$AD=DF$,$M$为$EF$的中点,求证:$DM\bot BM$.

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