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如图$1$,线段$AD$ ∥ $BC$,连接$AB$,$CD$,取$CD$的中点$E$,连接$AE$,$AE$平分$\angle BAD$. $(1)$线段$AB$,$AD$,$BC$之间存在怎样的等量关系?请写出并证明你的结论. $(2)$如图$2$,如果点$C$在$AB$的左侧,其他条件不变,那么（1）中的结论还成立吗?如果成立,请说明理由；如果不成立,请写出新的结论,并给予证明.

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如图,点$A$、$D$、$C$、$B$在同一条直线上,$AD=BC$,$AE=BF$,$CE=DF$,求证:$DF$ ∥ $EC.$

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某流域主要江河总体水质良好.如图是该流域主要江河水体污染超标断面统计图,根据超标断面个数,该流域主要江河最严重的污染指标是（ ）

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如图,点$A$,$B$分别在$\angle O$的两边上,点$P$是$\angle O$内一点,$PC\bot OA$,$PD\bot OB$,垂足分别为$C$,$D$,且$OA=OB$,$PC=PD$.求证:$PA=PB$.

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如图,已知$AB=AC$,$AD\bot BC$,$AB+BD=DE$,求证:点$C$在$AE$的垂直平分线上.

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如图,$AB=AC$,添加下列一个条件后,仍无法确定$\triangle ABE$ ≌ $\triangle ACD$的是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$,$BD$平分$\angle ABC$. $(1)$求$\angle A$、$\angle ABC$的度数； $(2)$连接$CE$,且$CE=\frac{1}{2}AB$,求证:$\triangle BCE$是等边三角形.

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如图,两个三角形是全等三角形,$x$的值是（ ）

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如图,点$E$在$\triangle ABC$的边$BC$上,且$\angle AEB=\angle ABC$,若$\angle BAE$的平分线$AF$交$BE$于点$F,FD$ ∥ $BC$交$AC$于点$D$,若$AB=2$,$AC=3$,则$DC$的长为______.

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【初步探索】 $(1)$如图$1$:在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$,$E$、$F$分别是$BC$、$CD$上的点,且$EF=BE+FD$,探究图中$\angle BAE$、$\angle FAD$、$\angle EAF$之间的数量关系. 小明同学探究此问题的方法是:延长$FD$到点$G$,使$DG=BE$.连接$AG$,先证明$\triangle ABE$ ≌

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如图,$AB=AD$,$\angle BAD=140^{\circ}$,$AB\bot CB$于点$B$,$AD\bot CD$于点$D$,$E$、$F$分别是$CB$、$CD$上的点,且$\angle EAF=70^{\circ}$,下列结论中①$DF=BE$,②$\triangle ADF$ ≌ $\triangle ABE,$③$FA$平分$\angle DFE$,④$EF$平分$\angle AEC$,⑤$BE+DF=EF$.其

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如图,已知$\angle 1=\angle 2$,$AC=AD$,增加下列条件,不能肯定$\triangle ABC$ ≌ $\triangle AED$的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$BD$、$CE$分别是$\triangle ABC$的高,在$BD$上取一点$P$,使$BP=AC$,在$CE$的延长线上取一点$Q$,使$CQ=AB$,连接$AQ$与$AP$. （1）求证:$\triangle ABP$ ≌ $\triangle QCA$； （2）判断$AP$与$AQ$的位置关系并证明你的结论.

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如图,$B$、$C$、$E$共线,$AB\bot BE$,$DE\bot BE$,$AC\bot DC$,$AC=DC$,又$AB=2cm$,$DE=1cm$,则$BE=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线交于点$D$,延长$BD$交$AC$于$E$,$G$,$F$分别在$BD$,$BC$上,$\angle A=2\angle BDF$,$DE=DG$.则下列结论正确的是（ ）

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如图,$Rt\triangle ABC$中,若$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,则$AB=2BC$,$AC=\sqrt{3}BC$,对于$\triangle AOB$所在平面内的点$P$,若$\triangle AOB$边上存在不同的两点$M$,$N$,使点$P$关于直线$MN$的对称点在$\triangle AOB$上或其内部,则称点$P$是$\triangle AOB$的"$MN

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如图,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$,$DE$平分$\angle ADC$,交$AC$于点$E$,$EF\bot AB$于点$F$,且交$AD$于点$G$,若$AG=1$,$BC=6$,则$DG= $______,$FG= \_\_\_\_\_\_.$

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如图,$AB=CD$,$DE\bot AC$,$BF\bot AC$,$E$,$F$是垂足,$AE=CF$,求证:$AB$ ∥ $CD.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$为$AB$上一点,$E$为$AC$中点,连接$DE$并延长至点$F$,使得$EF=ED$,连$CF$. $(1)$求证:$CF$ ∥ $AB$； $(2)$若$\angle ABC=50^{\circ}$,连接$BE$,$BE$平分$\angle ABC$,$AC$平分$\angle BCF$,求$\angle A$的度数.

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如图,$AC$是$\triangle ABC$和$\triangle ADC$的公共边,下列条件中不能判定$\triangle ABC$ ≌ $\triangle ADC$的是（ ）

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