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【初步探索】 $(1)$如图$1$:在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$,$E$、$F$分别是$BC$、$CD$上的点,且$EF=BE+FD$,探究图中$\angle BAE$、$\angle FAD$、$\angle EAF$之间的数量关系. 小明同学探究此问题的方法是:延长$FD$到点$G$,使$DG=BE$.连接$AG$,先证明$\triangle ABE$ ≌

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如图,$AB=AD$,$\angle BAD=140^{\circ}$,$AB\bot CB$于点$B$,$AD\bot CD$于点$D$,$E$、$F$分别是$CB$、$CD$上的点,且$\angle EAF=70^{\circ}$,下列结论中①$DF=BE$,②$\triangle ADF$ ≌ $\triangle ABE,$③$FA$平分$\angle DFE$,④$EF$平分$\angle AEC$,⑤$BE+DF=EF$.其

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如图,已知$\angle 1=\angle 2$,$AC=AD$,增加下列条件,不能肯定$\triangle ABC$ ≌ $\triangle AED$的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$BD$、$CE$分别是$\triangle ABC$的高,在$BD$上取一点$P$,使$BP=AC$,在$CE$的延长线上取一点$Q$,使$CQ=AB$,连接$AQ$与$AP$. （1）求证:$\triangle ABP$ ≌ $\triangle QCA$； （2）判断$AP$与$AQ$的位置关系并证明你的结论.

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如图,$B$、$C$、$E$共线,$AB\bot BE$,$DE\bot BE$,$AC\bot DC$,$AC=DC$,又$AB=2cm$,$DE=1cm$,则$BE=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线交于点$D$,延长$BD$交$AC$于$E$,$G$,$F$分别在$BD$,$BC$上,$\angle A=2\angle BDF$,$DE=DG$.则下列结论正确的是（ ）

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如图,$Rt\triangle ABC$中,若$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A=30^{\circ}$,则$AB=2BC$,$AC=\sqrt{3}BC$,对于$\triangle AOB$所在平面内的点$P$,若$\triangle AOB$边上存在不同的两点$M$,$N$,使点$P$关于直线$MN$的对称点在$\triangle AOB$上或其内部,则称点$P$是$\triangle AOB$的"$MN

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如图,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$,$DE$平分$\angle ADC$,交$AC$于点$E$,$EF\bot AB$于点$F$,且交$AD$于点$G$,若$AG=1$,$BC=6$,则$DG= $______,$FG= \_\_\_\_\_\_.$

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如图,$AB=CD$,$DE\bot AC$,$BF\bot AC$,$E$,$F$是垂足,$AE=CF$,求证:$AB$ ∥ $CD.$

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如图,在$\triangle ABC$中,$D$为$AB$上一点,$E$为$AC$中点,连接$DE$并延长至点$F$,使得$EF=ED$,连$CF$. $(1)$求证:$CF$ ∥ $AB$； $(2)$若$\angle ABC=50^{\circ}$,连接$BE$,$BE$平分$\angle ABC$,$AC$平分$\angle BCF$,求$\angle A$的度数.

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如图,$AC$是$\triangle ABC$和$\triangle ADC$的公共边,下列条件中不能判定$\triangle ABC$ ≌ $\triangle ADC$的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$在边$AB$上,$CD=CB$,$\angle B=\angle CDE$,添加下列条件能判断$\triangle ABC$ ≌ $\triangle EDC$的是（ ）

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计算:${(-1)}^{2024}+{(\frac{1}{2})}^{-1}-5+{(2024-π)}^{0}$.

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如图,已知$AD$,$AF$分别是两个钝角$\triangle ABC$和$\triangle ABE$的高,如果$AD=AF$,$AC=AE$. 求证: $(1)BD=BF$ $(2)BC=BE$

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如图,$DE\bot AB$于$E$,$DF\bot AC$于$F$,若$BD=CD$、$BE=CF$, $(1)$求证:$AD$平分$\angle BAC$； $(2)$已知$AC=20$,$BE=4$,求$AB$的长.

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如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=6$,$\triangle ABC$的面积为$9$. $(1)\angle A= \_\_\_\_\_\_^{\circ}.$ $(2)$如图$2$,若点$P$,$Q$分别是线段$AC$和$AB$上的两个动点,则$BP+PQ$的最小值为______.

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如图,$\triangle ABC$为等边三角形,点$D$与点$C$关于直线$AB$对称,$E$,$F$分别是边$BC$和$AC$上的点,$BE=CF$,$AE$与$BF$交于点$G$,$DG$交$AB$于点$H$. $(1)$求$\angle AGF$的度数,并证明. $(2)$求证:$AG+BG=DG$. $(3)$连接$HF$,判断$\triangle AHF$的形状并说明理由.

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如图,点$B$,$F$,$C$,$E$在一条直线上,$BF=CE$,$AC=DF$. $(1)$在下列条件①$AB$ ∥ $DE;$②$\angle ACB=\angle DFE$；③$AB=DE$中,只添加一个条件就可以证得$\triangle ABC$ ≌ $\triangle DEF$,则所有可以添加的条件的序号是______. $(2)$根据已知及（1）中添加的一个条件,证明$\angle A=\angle D$.

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如图所示,$AC$和$BD$相交于$O$,$AO=DO$,$AB\bot AC$,$CD\bot BD$,那么$AB$与$CD$的关系是（ ）

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如图,$AB=AC$,$BC=6$,$AD\bot BC$于$D$,则$BD= \_\_\_\_\_\_.$

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