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已知在$\triangle ABC$中,$AB=8$,$BC=x$. $(1)$若$AC=5$,求$x$的取值范围； $(2)$若$AC=BC$,求$x$的取值范围.

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据我国古代《周髀算经》记载,公元前$1120$年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括为"勾三,股四,弦五". $(1)$观察:$3$,$4$,$5$；$5$,$12$,$13$；$7$,$24$,$25$；$\ldots $,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从$3$起就没有间断过.计算$\frac{1}{2}\left(9-1\right)$、$\frac{1}{2}

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下列长度的三条线段中,不能组成直角三角形的是（ ）

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我们知道,以$3$,$4$,$5$为边长的三角形是直角三角形,称$3$,$4$,$5$为勾股数组,记为$\left(3,4,5\right)$,可以看作$(2^{2}-1$,$2\times 2$,$2^{2}+1)$；同时$8$,$6$,$10$也为勾股数组,记为$\left(8,6,10\right)$,可以看作$(3^{2}-1$,$2\times 3$,$3^{2}+1)$.类似的,依次可以得到第三个勾股数组$\left(15,

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满足下列条件的$\triangle ABC$,不是直角三角形的是（ ）

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$\triangle ABC$中,$AB=15$,$BC=14$,$AC=13$,过$A$作$AH\bot BC$,垂足为$H$,求$AH$的长.

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具备下列条件的$\triangle ABC$,不是直角三角形的是（ ）

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为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度,某小区进行小范围绿化,要在一块如图所示的四边形空地$ABCD$内进行绿化改造,$\angle A=90^{\circ}$,$AB=12m$,$AD=9m$,$BC=17m$,$CD=8m$. $(1)$若要在$B$,$D$两点间铺一条鹅卵石路,铺设成本为$120$元$/m$；最低花费为多少元? $(2)$如果种植草皮的费用是$200$元$/m^{2}$,那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元?

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关于$x$、$y$的二元一次方程$2x+5y=17$的非负整数解是______.

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三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅"弦图",如图所示,该"弦图"由四个完全相同的直角三角形拼在一起得到一个大正方形和一个小正方形.已知直角三角形的两条直角边长分别为$a$,$b\left(a \gt b\right)$. $(1)$请你直接写出大正方形的面积（用含$a$,$b$的代数式表示）； $(2)$若$ \left(a+b\right)^{2}=26$,大正方形的面积为$17$,求小正方形的面积.

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某汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李,如果超过规定的重量,则需要购买行李票,行李票费用$y(元)$与行李重量$x($千克）之间函数关系的图象如图所示. $(1)$求$y$与$x$之间的函数关系. $(2)$旅客最多可以免费携带多少千克的行李?

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解方程:$\left(x+1\right)^{2}-16\left(x-3\right)^{2}=0$.

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一元二次方程$\left(x-3\right)^{2}=4\left(3-x\right)$的解是______.

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已知二元一次方程$x+7y=5$,用含$x$的代数式表示$y$,正确的是（ ）

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$a$取下列何值时,方程$\frac{2x+a}{2-x}-1=0$的解是正数（ ）

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一次函数$y=mx+n$与正比例函数$y=mnx(m$、$n$为常数,且$m\neq 0)$,它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）

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函数$y=\frac{6}{x}$的图象经过两点$A\left(-3,m\right)$、$B\left(2,n\right)$,则$m \_\_\_\_\_\_n.($填"$ \lt $"、"$=$"或"$ \gt ")$

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对于函数$y=-3x+2$,下列结论正确的是（ ）

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AB=13$,$AC=12$,点$D$为$\triangle ABC$外一点,连接$BD$,$CD$,测得$CD=4$,$BD=3$,求四边形$ABDC$的面积.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$,$AC$的垂直平分线交$BC$于点$F$,交$AC$于点$G$,连接$AD$,$AF$.若$BC=6$,$BD=2$,$\angle DAF=90^{\circ}$,则$DF$的长为______.

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