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《九章算术》卷九"勾股"中记载:今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?译文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有$3$尺.牵着绳索（绳索头与地面接触）退行,在距木根部$8$尺处时绳索用尽.问绳索长是多少?设绳索长为$x$尺,可列方程为______.

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汽车油箱中有汽油$30L$,如果不再加油,那么油箱中的油量$y($单位:$L)$随行驶路程$x($单位:$km)$的增加而减少,平均耗油量为$0.1L/km$.当$0\leqslant x \lt 300$时,$y$与$x$的函数解析式是（ ）

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在平面直角坐标系$xOy$中,已知$\triangle ABC$,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$. $(1)$如图$1$,若点$A\left(0,3\right)$,$C\left(1,0\right)$,求点$B$的坐标； $(2)$如图$2$,若点$A\left(-1,0\right)$,$C\left(1,3\right)$,求点$B$的坐标.

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已知:一次函数$y=kx+b$的图象经过$M\left(0,2\right)$,$N\left(1,3\right)$两点. $(1)$求$k$、$b$的值； $(2)$若一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点为$A\left(a,0\right)$,求$a$的值.

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关于函数$y=\left(k-3\right)x+k$,给出下列结论: ①此函数是一次函数； ②无论$k$取什么值,函数图象必经过点$\left(-1,3\right)$； ③若函数经过二,三,四象限,则$k$的取值范围是$k \lt 0$； ④若函数图象与$x$轴的交点始终在正半轴,则$k$的取值范围是$k \lt 3$, 其中正确的是______;(填序号）

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已知关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{c}2x-a＜0\\ 2x-1≥3\end{array}\right.$无解,且关于$x$的方程$x=2-2\left(x-a\right)$的解为非负数,则满足条件的所有整数$a$的和为______.

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如图,利用函数图象可知关于$x$,$y$的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}2x-y+1=0\\ mx-y+n=0\end{array}\right.$的解为______.

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若$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$是关于$x$,$y$的二元一次方程$x-ay=4$的一组解,则$a$的值为（ ）

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函数$y=2x$与$y=6-kx$的图象如图所示,则$k=\_\_\_\_\_\_.$

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将函数$y=2x$的图象向下平移$3$个单位,则得到的图象相应的函数表达式为______.

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下列四组数中,属于勾股数的是（ ）

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如图,四边形$ABCD$中,$\angle ABD=\angle DBC$,$AB=BC$,若$DC=8$,则$AD$的长为______.

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$上一点且$\angle ADC=60^{\circ}$,$CE\bot AD$于点$E$,点$A$关于$CE$的对称点为点$F$,$CF$交$AB$于点$G$. $(1)$求$\angle AGC$的度数； $(2)$写出$BD$与$DF$之间的数量关系,并证明.

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已知△ABC的三边a=m-n（m＞n＞0）,b=2$\sqrt{mn}$,c=m+n． （1）求证:△ABC是直角三角形． （2）利用第（1）题的结论,写出两个直角三角形的边长,要求它们的边长均为正整数．

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在$\triangle ABC$中,$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对应边分别是$a$、$b$、$c$,下列条件中不能说明$\triangle ABC$是直角三角形的是（ ）

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解分式方程:$\frac{x}{{x+1}}-\frac{4}{{{x^2}-1}}=1$.

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若$x$、$y$满足$\left\{\begin{array}{l}x-2y=-2\\ x+2y=3\end{array}\right.$,则代数式$x^{2}-4y^{2}$的值为____.

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如图$1$,将长为$2a+3$,宽为$2a$的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成"赵爽弦图"（如图$2)$,得到大小两个正方形. $(1)$用关于$a$的代数式表示图$2$中小正方形的边长______； $(2)$当$a=3$时,该大正方形的面积是______. ​

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如图是我国古代著名的"赵爽弦图"的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中$AE=5$,$AB=13$,则$EF$的值是______.

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刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术注》中指出:"勾、股幂合为弦幂,明矣."也就是说,图$1$中直角三角形的三边$a$、$b$、$c$存在$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的关系.他在书中构造了一些基本图形来解决问题.如图$2$,分别将以$a$为边长的正方形和$b$为边长的正方形置于以$c$为边长的大正方形的左下角和右上角,则图中阴影部分面积等于____$($用含字母$a$的代数式表示)；若$\left(c-a\right

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