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已知点$A\left(1,a\right)$在抛物线$y=x^{2}$上,在$x$轴上是否存在一点,使$OA=PA$?若存在,求出点$P$的坐标.

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已知函数$y=\frac{4}{{x}^{2}+2x+3}$. $x$ $y$ $(1)$试着通过列表、描点、连线的方式,画出其图象的草图； $(2)$根据所画草图,请写出该函数的三条图象特征.

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已知抛物线${L}_{1}:y=a{x}^{2}+bx+4$与$x$轴交于$A\left(-4,0\right)$,$B\left(2,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$. $(1)$请直接写出:此抛物线的函数解析式为______； $(2)$如图$1$,已知点$D$在第二象限的抛物线上,点$E$在抛物线的对称轴上,是否存在这样的$D$、$E$两点使得四边形$BCDE$为矩形?若存在,求$D$、$E$两点的坐标；若不存在,请

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已知某二次函数的图象的顶点为$\left(1,-2\right)$,且过点$\left(2,-5\right)$. $(1)$求此二次函数的解析式； $(2)$判断点$P\left(-1,9\right)$是否在这个二次函数的图象上,并说明理由.

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函数$y=\frac{1}{x-7}$中自变量$x$的取值范围是____.

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如图,抛物线$y=ax^{2}+1$与$y$轴交于点$A$,过点$A$与$x$轴平行的直线交抛物线$y=4x^{2}$于点$B$、$C$,则线段$BC$的长为____.

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已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c$中,函数$y$与自变量$x$的部分对应值如表: $x$ $\ldots $ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $\ldots $ $y$ $\ldots $ $10$ $5$ $2$ $1$ $2$ $\ldots $ 则当$y \lt 5$时,$x$的取值范围是____.

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对于二次函数$y=\left(x-1\right)^{2}$,下列结论错误的是（ ）

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如图,在菱形$ABCD$中,$\angle ABC$是锐角,$E$是$BC$边上的动点,将射线$AE$绕点$A$按逆时针方向旋转,交直线$CD$于点$F$. $(1)$当$AE\bot BC$,$\angle EAF=\angle ABC$时, ①求证:$\triangle CEF$ ∽ $\triangle CBD$； ②联结$BD$,$EF$,若$\frac{EF}{BD}=\frac{2}{5}$,求$\frac{{S}_{△AE

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在$\triangle ABC$中,三边长分别为$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$,则它的面积为____.

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对于二次函数$y=-\left(x-1\right)^{2}$的图象的特征,下列描述正确的是（ ）

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定义；如果抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于点$A(x_{1}$,$0)$,$B(x_{2}$,$0)$,那么我们把线段$AB$叫做泉塘弦,$AB$两点之间的距离称为抛物线的泉塘弦长. $(1)$求抛物线$y=x^{2}-5x-6$的泉塘弦长； $(2)$求抛物线$y=x^{2}+\left(n+1\right)x-1\left(1\leqslant n \lt 3\right)$

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如图$1$,已知直线$l_{1}$:$y=-x+5$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,直线$l_{2}$与$y$轴交于点$C\left(0,-1\right)$,与直线$l_{1}$交于点$D\left(2,t\right)$. $(1)$求直线$l_{2}$的解析式； $(2)$如图$2$,若点$P$在直线$l_{1}$上,过点$P$作$PQ$ ∥ $y$轴交$l_{2}$于点$Q$,交$x$轴于点$G$,使$S_{\t

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如图所示,在平面直角坐标系中,点$A\left(-2,2\right)$和点$B\left(3,2\right)$,抛物线$y=\left(x-h\right)^{2}-2$与线段$AB$有公共点,则$h$的取值范围是______.

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（2023九上·洪洞月考）下框是缘缘与芳芳两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3） 2 的过程： 缘缘： 两边同除以（x﹣3）得： 3＝x﹣3， 解得：x＝6． 芳芳： 移项，得：3（x﹣3）﹣（x﹣3） 2 ＝0， 提取公因式，得：（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得：x 1 ＝3，x 2 ＝0． 下列判断正确的是（ ）

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将函数$y=2x$的图象沿$y$轴向上平移$1$个单位长度后,所得图象与$x$轴的交点坐标为（ ）

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如图,二次函数的图象与$x$轴交于$A\left(-3,0\right)$和$B\left(1,0\right)$两点,交$y$轴于点$C\left(0,3\right)$,点$C$,$D$是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点$B$,$D$. $(1)$求二次函数解析式； $(2)$求出顶点坐标和点$D$的坐标； $(3)$二次函数的对称轴上是否存在的一点$M$,使$\triangle BCM$的周长最小?若存在,求出$M$

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将抛物线$y=2x^{2}-1$的图象先向右平移$3$个单位,再向上平移$4$个单位,得到的抛物线的解析式是（ ）

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已知二次函数$y=x^{2}-bx+1$,当$x \lt 1$时,$y$随$x$的增大而减小,则实数$b$的取值范围为（ ）

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如图,已知点$P\left(4,m\right)$在抛物线$y=x^{2}-2x-3$上,当$y \gt m$时,$x$的取值范围是____.

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