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已知二次函数$y=-x^{2}+2mx+1$,当$x \gt 4$时,函数值$y$随$x$的增大而减小,则$m$的取值范围是______.

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若二次函数$y=2x^{2}-4x+7$,当$0 \lt x\leqslant 3$时,$y$的取值范围是______.

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下列命题中,说法正确的是（ ）

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如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=6$,$BC=8$,点$D$是$BC$边上的一个动点,点$E$在$AC$上,点$D$在运动过程中始终保持$\angle 1=\angle B$,设$BD$的长为$x\left(0 \lt x \lt 8\right)$. $(1)$求证:$\triangle DCE$ ∽ $\triangle ABD$； $(2)$当$CE=2$时,求$x$的值.

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如图,$AC$、$BD$交于点$E$,$BC=CD$,且$BD$平分$\angle ABC$. $(1)$求证:$\triangle AEB$ ∽ $\triangle CED$； $(2)$若$BC=12$,$EC=6$,$AE=4$,求$AB$的长.

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如图,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$BC$上,$AE$与$CD$交于点$F$,若$AE$平分$\angle BAC$,$AB\cdot AF=AC\cdot AE$. $(1)$求证:$\angle AFD=\angle AEC$； $(2)$若$EG$ ∥ $CD$,交边$AC$的延长线于点$G$,求证:$CD\cdot CG=FC\cdot BD$.

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已知在$\triangle ABC$中,点$D$在边$AB$上,点$E$在射线$CA$上.直线$CD$与直线$BE$相交于点$F$. $(1)$如图$1$,当点$E$在边$AC$上时,如果$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BF}$,求证:$EF=EC$； $(2)$如果$AB=AC=\frac{3}{2}BC$,$AD=BC$, ①如图$2$,当$EC=2BC$时,求$\frac{FB}{FC}$的值； ②填空:当$BC

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如图,$D$、$E$、$F$分别在$\triangle ABC$的边上,且$DE$ ∥ $BC,EF$ ∥ $AB,$下列等式不成立的是（ ）

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（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF； （2）已知：如图2，⊙O的半径为3，弦AB的长为4．求sinA的值．

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如图,在菱形$ABCD$中,点$E$在对角线$AC$上,延长$BE$交$AD$于点$F$. $(1)$求证:$\frac{{EF}}{{EB}}=\frac{{FA}}{{BC}}$； $(2)P$为$CD$上一点,在$AC$上求作点$Q$,使得$\triangle CPQ$ ∽ $\triangle CBE.$ $($要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）

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如图,在矩形$ABCD$中,对角线$BD$的垂直平分线分别交边$AB$、$CD$于点$E$、$F$.若$AD=4$,$BE=5$,则$\tan \angle ABD=\_\_\_\_\_\_.$

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如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=2$,$BC=3$.将$\triangle ABC$沿射线$CB$平移得到$\triangle {A\’}{B\’}{C\’}$,将$AB$绕着点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$AD$,连接$DA\’$,$DB\’$.在$\triangle ABC$的平移过程中,$\triangle {A\’}{B\’}D$的周长的最小值

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（2010•福州质检）（1）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． ①填空：∠ABC= °；∠DEF= °；BC= ；DE= ； ②判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论． （2）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：△ADE≌△DCF．

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如图,点$O$是菱形$ABCD$对角线的交点$,DE$ ∥ $AC,CE$ ∥ $BD,$连接$OE$,设$AC=12$,$BD=16$,则$OE$的长为（ ）

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（1）操作发现： 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决： 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值； （3）类比探求： 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．

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我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题： （1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发

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如图,在▱$ABCD$中,$E$为$CD$上一点,连接$AE$、$BD$,且$AE$、$BD$交于点$F$,$S_{\triangle DEF}$:$S_{\triangle ABF}=4:25$,则$DE:EC=\left(\ \ \right)$

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如图,正方形$ABCD$的边长为$10$,$E$为$AD$的中点,连接$CE$,过点$B$作$BF\bot CE$交$CD$于点$F$,垂足为$G$,连接$AG$、$DG$,下列结论:①$BF=CE$；②$AG=CD$；③$\angle CDG=\angle AGE$；④$EG=2\sqrt{5}$；⑤$DG=\sqrt{10}$.其中正确结论有______$(填写序号)$.

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有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30度． （1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由； （2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB 1 D 1 ，AD 1 交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋

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如图,在平行四边形$ABCD$中,$F$为$BC$的中点,延长$AD$至点$E$,使$DE:AD=1:3$,连接$EF$交$DC$于点$G$,则$S_{\triangle CFG}$:$S_{\triangle DEG}$等于（ ）

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